어떤 문제인가
이 문제는 미분을 이용해서 곡선 위의 특정 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 두 접선과 $y$축으로 둘러싸인 도형(삼각형)의 넓이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 접선의 기울기와 미분계수: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 기울기는 $f'(a)$입니다.
- 곱의 미분법: 두 함수의 곱으로 이루어진 함수 $g(x) = u(x)v(x)$를 미분할 때는 $g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$를 이용합니다.
- 삼각형의 넓이: 두 직선과 $y$축으로 둘러싸인 도형은 삼각형이 됩니다. $y$축 위의 두 점 사이의 거리를 '밑변'으로, 두 직선의 교점의 $x$좌표의 절댓값을 '높이'로 생각하여 넓이를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, -6)$에서의 접선 $l$ 구하기
먼저 접선 $l$의 기울기를 구하기 위해 $f(x)$를 미분해 봅시다.
$$f(x) = x^2 - 4x - 3$$
$$f'(x) = 2x - 4$$
점 $(1, -6)$에서의 접선의 기울기는 $x=1$에서의 미분계수 $f'(1)$과 같습니다.
$$f'(1) = 2(1) - 4 = -2$$
기울기가 $-2$이고 점 $(1, -6)$을 지나는 직선 $l$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - (-6) = -2(x - 1)$$
$$y + 6 = -2x + 2$$
$$y = -2x - 4 \quad \cdots \text{ (직선 } l\text{)}$$
2단계: 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(1, 6)$에서의 접선 $m$ 구하기
이번에는 $g(x) = (x^3 - 2x)f(x)$의 접선 $m$을 구해봅시다. 곱의 미분법을 사용하여 $g'(x)$를 구합니다.
$$g'(x) = (x^3 - 2x)' \cdot f(x) + (x^3 - 2x) \cdot f'(x)$$
$$(x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2 \text{ 이므로,}$$
$$g'(x) = (3x^2 - 2)f(x) + (x^3 - 2x)f'(x)$$
이제 $x=1$에서의 미분계수 $g'(1)$을 구하기 위해 필요한 값들을 대입합니다. (문제에서 $f(1) = -6$, 앞 단계에서 $f'(1) = -2$임을 구했습니다.)
$$g'(1) = (3(1)^2 - 2)f(1) + (1^3 - 2(1))f'(1)$$
$$g'(1) = (1)(-6) + (-1)(-2)$$
$$g'(1) = -6 + 2 = -4$$
따라서 접선 $m$의 기울기는 $-4$입니다. 기울기가 $-4$이고 점 $(1, 6)$을 지나는 직선 $m$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - 6 = -4(x - 1)$$
$$y = -4x + 10 \quad \cdots \text{ (직선 } m\text{)}$$
3단계: 두 직선의 교점 구하기
두 직선 $l$과 $m$이 만나는 교점의 좌표를 구하기 위해 두 식을 연립합니다.
$$-2x - 4 = -4x + 10$$
$$2x = 14$$
$$x = 7$$
$x=7$을 직선 $l$의 방정식에 대입하면 $y = -2(7) - 4 = -18$이 됩니다.
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 $(7, -18)$입니다. 이 교점의 $x$좌표인 $7$이 우리가 구할 삼각형의 높이가 됩니다.
4단계: $y$축과의 교점($y$절편)을 찾고 도형의 넓이 구하기
두 직선이 $y$축과 만나는 점($x=0$일 때의 $y$값)을 각각 구합니다.
- 직선 $l$의 $y$절편: $y = -4$ $\rightarrow$ 점 $(0, -4)$
- 직선 $m$의 $y$절편: $y = 10$ $\rightarrow$ 점 $(0, 10)$
$y$축 위에 있는 두 점 $(0, -4)$와 $(0, 10)$ 사이의 거리가 삼각형의 밑변의 길이가 됩니다.
$$\text{밑변의 길이} = 10 - (-4) = 14$$
삼각형의 높이는 교점의 $x$좌표의 크기이므로 $7$입니다.
따라서 구하고자 하는 도형의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49$$
답
⑤ $49$
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 함수 $p(x) = (x^2 + 1)f(x)$가 있습니다. $f(1) = -6$, $f'(1) = -2$일 때, 곡선 $y = p(x)$ 위의 점 $x=1$에서의 접선의 기울기 $p'(1)$의 값은 얼마일까요?