어떤 문제인가
이 문제는 직각삼각형과 원의 성질을 결합하여, 선분의 길이를 구하는 기하 문제입니다. 복잡해 보이지만 도형을 하나씩 분해해서 보면 우리가 배운 핵심 개념들을 적용할 수 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 직각삼각형의 삼각비와 피타고라스 정리: 기본적인 변의 길이와 각도의 사인, 코사인 값을 구합니다.
- 코사인법칙: 두 변과 그 끼인각을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구하는 데 사용합니다.
- 사인법칙과 외접원: 삼각형의 외접원의 반지름과 변의 길이, 대각의 크기 사이의 관계를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 직각삼각형 $ABC$에서 알 수 있는 정보 정리하기
먼저 가장 기본이 되는 직각삼각형 $ABC$를 살펴봅시다.
$\overline{\text{AB}} = 3$, $\overline{\text{BC}} = 4$이고 $\angle\text{B} = \frac{\pi}{2}$이므로, 피타고라스 정리에 의해 빗변 $\overline{\text{AC}}$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{AC}} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$
이때, $\angle\text{BAC} = \theta$라고 하면 직각삼각형의 정의에 의해 다음 삼각비 값을 얻을 수 있습니다.
$$\cos\theta = \frac{3}{5}, \quad \sin\theta = \frac{4}{5}$$
또한, 점 $D$는 선분 $AB$를 $2:1$로 내분하는 점이고 $\overline{\text{AB}} = 3$이므로, $\overline{\text{AD}} = 2$입니다.
점 $A$를 중심으로 하고 반지름이 $\overline{\text{AD}} = 2$인 원이 선분 $AC$와 만나는 점이 $E$이므로, 선분 $AE$ 역시 이 원의 반지름입니다.
$$\overline{\text{AE}} = 2$$
따라서 선분 $EC$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{EC}} = \overline{\text{AC}} - \overline{\text{AE}} = 5 - 2 = 3$$
2단계: $\triangle ACG$에서 코사인법칙으로 $\cos(\angle\text{ACG})$ 구하기
점 $G$는 반지름이 $2$인 원 위의 점이므로, 원의 중심 $A$로부터의 거리인 $\overline{\text{AG}} = 2$입니다.
문제에서 $\overline{\text{CG}} = 2\sqrt{6}$이라고 주어졌습니다.
이제 세 변의 길이를 모두 알고 있는 $\triangle ACG$에 주목해 봅시다.
- $\overline{\text{AC}} = 5$
- $\overline{\text{AG}} = 2$
- $\overline{\text{CG}} = 2\sqrt{6}$
이 삼각형에서 코사인법칙을 사용하여 $\cos(\angle\text{ACG})$를 구해보겠습니다.
$$\overline{\text{AG}}^2 = \overline{\text{AC}}^2 + \overline{\text{CG}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \overline{\text{CG}} \cdot \cos(\angle\text{ACG})$$
값을 대입하면:
$$2^2 = 5^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle\text{ACG})$$
$$4 = 25 + 24 - 20\sqrt{6} \cos(\angle\text{ACG})$$
$$20\sqrt{6} \cos(\angle\text{ACG}) = 45$$
$$\cos(\angle\text{ACG}) = \frac{45}{20\sqrt{6}} = \frac{9}{4\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$$
점 $E$는 선분 $AC$ 위의 점이므로, $\angle\text{ECG}$는 $\angle\text{ACG}$와 같은 각입니다. 즉,
$$\cos(\angle\text{ECG}) = \frac{3\sqrt{6}}{8}$$
3단계: $\triangle ECG$에서 코사인법칙으로 $\overline{\text{EG}}$ 구하기
이제 세 점 $C, E, G$를 지나는 원에 대해 알아보기 위해, 먼저 $\triangle ECG$의 세 변의 길이를 구해야 합니다. 이미 $\overline{\text{EC}} = 3$, $\overline{\text{CG}} = 2\sqrt{6}$을 알고 있으므로, 코사인법칙으로 나머지 한 변 $\overline{\text{EG}}$를 구합니다.
$$\overline{\text{EG}}^2 = \overline{\text{EC}}^2 + \overline{\text{CG}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{EC}} \cdot \overline{\text{CG}} \cdot \cos(\angle\text{ECG})$$
값을 대입하면:
$$\overline{\text{EG}}^2 = 3^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{6} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{8}$$
$$\overline{\text{EG}}^2 = 9 + 24 - 12\sqrt{6} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{8}$$
$$\overline{\text{EG}}^2 = 33 - \frac{216}{8} = 33 - 27 = 6$$
$$\overline{\text{EG}} = \sqrt{6}$$
4단계: 세 점 $C, E, G$를 지나는 원의 외접원 반지름 $R$ 구하기
세 점 $C, E, G$를 지나는 원은 결국 $\triangle ECG$의 외접원입니다. 이 외접원의 반지름을 $R$이라고 합시다.
사인법칙을 사용하기 위해 먼저 $\sin(\angle\text{ECG})$의 값을 구합니다.
$$\sin^2(\angle\text{ECG}) = 1 - \cos^2(\angle\text{ECG}) = 1 - \left(\frac{3\sqrt{6}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{54}{64} = \frac{10}{64}$$
$$\sin(\angle\text{ECG}) = \frac{\sqrt{10}}{8} \quad (\because 0 < \angle\text{ECG} < \pi)$$
이제 $\triangle ECG$에서 사인법칙을 적용합니다.
$$2R = \frac{\overline{\text{EG}}}{\sin(\angle\text{ECG})} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{10}}{8}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{15}}{5}$$
5단계: 사인법칙으로 선분 $GH$의 길이 구하기
점 $H$는 세 점 $C, E, G$를 지나는 원(외접원) 위의 점입니다. 따라서 $\triangle HCG$ 역시 이 원에 내접하는 삼각형입니다.
문제에서 $\angle\text{HCG} = \angle\text{BAC} = \theta$라고 주어졌습니다.
$\triangle HCG$에서 변 $GH$의 대각은 바로 $\angle\text{HCG}$입니다.
따라서 이 삼각형에서 다시 한번 사인법칙을 적용하면 다음과 같습니다.
$$\frac{\overline{\text{GH}}}{\sin(\angle\text{HCG})} = 2R$$
$$\overline{\text{GH}} = 2R \cdot \sin(\angle\text{HCG})$$
우리가 구한 값들을 대입해 봅시다. ($2R = \frac{8\sqrt{15}}{5}$, $\sin(\angle\text{HCG}) = \sin\theta = \frac{4}{5}$)
$$\overline{\text{GH}} = \frac{8\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{32\sqrt{15}}{25}$$
답
정답은 ④ $\frac{32\sqrt{15}}{25}$ 입니다.
확인해보기
삼각형의 세 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있을 때, 이 원을 삼각형의 외접원이라고 부릅니다.
그렇다면, **"한 원 위에 있는 여러 개의 삼각형들은 모두 외접원의 반지름 $R$이 같다"**는 성질을 이 문제에서 어떻게 활용했는지 스스로 설명해 보세요.