어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수 $h(x)$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 미지수 $a$의 조건을 찾고, 그때의 함수 값을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $h(x) = \int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) dt$의 도함수 $h'(x)$를 구하는 방법
- 극값의 조건: 도함수 $h'(x)$의 부호가 바뀌는 지점이 오직 한 곳만 존재해야 한다는 성질
- 이차방정식의 판별식과 실근의 위치: 구간에 따라 정의된 함수의 그래프 교점을 분석하는 방법
단계별 풀이
1단계: $h(x)$의 도함수 구하기와 극값의 조건 이해하기
먼저 함수 $h(x)$가 극값을 가질 조건을 알아보기 위해 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다. 적분의 기본 정리에 의해 다음이 성립합니다.
$$h'(x) = g(x) - f(x)$$
함수 $h(x)$가 어떤 점 $x = c$에서 극값을 갖기 위해서는 **$h'(c) = 0$이면서, $x = c$의 좌우에서 $h'(x)$의 부호가 바뀌어야** 합니다.
따라서 "오직 하나의 극값을 갖는다"는 말은 **$g(x) - f(x) = 0$이 되는 실근 중에서, 좌우에서 부호가 바뀌는 실근이 오직 하나만 존재해야 한다**는 뜻입니다. 즉, 두 함수 $y = g(x)$와 $y = f(x)$의 그래프가 서로 교차하며 지나가는 점이 단 하나뿐이어야 합니다.
2단계: 구간별로 $h'(x) = g(x) - f(x)$ 분석하기
두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 구간에 따라 다르게 정의되어 있으므로, 구간을 나누어 $h'(x)$의 식을 정리해 봅시다. 양수 $a$ ($a > 0$)에 대하여 분석합니다.
(1) $x < -1$ 일 때
- $f(x) = -x^2$, $g(x) = ax + a$ 이므로,
$$h'(x) = (ax + a) - (-x^2) = x^2 + ax + a$$
(2) $-1 \le x < 0$ 일 때
- $f(x) = -x^2$, $g(x) = 0$ 이므로,
$$h'(x) = 0 - (-x^2) = x^2$$
이 구간에서는 $x^2 \ge 0$이므로 부호 변화가 일어나지 않습니다.
(3) $0 \le x < 1$ 일 때
- $f(x) = x^2 - x$, $g(x) = 0$ 이므로,
$$h'(x) = 0 - (x^2 - x) = -x(x-1)$$
이 구간($0 < x < 1$)에서 $-x(x-1) > 0$이므로 항상 양수입니다.
*참고: $x=0$ 좌우에서 $h'(x)$는 $x^2 > 0$에서 $-x(x-1) > 0$으로 부호가 바뀌지 않으므로 $x=0$은 극값이 아닙니다.*
(4) $x \ge 1$ 일 때
- $f(x) = x^2 - x$, $g(x) = ax - a$ 이므로,
$$h'(x) = (ax - a) - (x^2 - x) = a(x-1) - x(x-1) = (a-x)(x-1)$$
3단계: 극값이 오직 하나만 존재할 조건 찾기
이제 $x \ge 1$ 구간과 $x < -1$ 구간을 나누어 부호 변화를 살펴보겠습니다.
[구간 $x \ge 1$ 분석]
$h'(x) = (a-x)(x-1)$의 근은 $x = 1$과 $x = a$입니다.
- 만약 $a > 1$ 이라면:
* $x < 1$ 일 때 $h'(x) > 0$
* $1 < x < a$ 일 때 $h'(x) = (양수)(양수) > 0$ (부호 변화 없음!)
* $x > a$ 일 때 $h'(x) = (음수)(양수) < 0$ (부호가 양에서 음으로 바뀜!)
* 즉, **$x = a$에서만 유일하게 부호 변화가 일어나 극값**이 됩니다. ($x = 1$은 부호가 바뀌지 않아 극값이 아닙니다.)
따라서 $a > 1$일 때, $x \ge 1$ 영역에서는 이미 **오직 하나의 극값($x=a$)**이 확보되었습니다.
[구간 $x < -1$ 분석]
전체 구간에서 극값이 오직 하나만 존재하려면, $x < -1$ 영역에서는 부호 변화가 일어나는 근이 없어야 합니다.
이 구간에서 $h'(x) = x^2 + ax + a$ 입니다. 이 이차식이 부호 변화를 갖지 않으려면, 그래프가 $x$축과 만나지 않거나 접해야 합니다. 즉, 판별식 $D$가 $0$ 이하이어야 합니다.
$$D = a^2 - 4a \le 0$$
$$a(a-4) \le 0 \implies 0 < a \le 4 \quad (\because a > 0)$$
따라서 $a \le 4$일 때 $x < -1$ 구간에서 부호 변화가 일어나지 않습니다.
4단계: $a$의 최댓값 $k$ 구하기
위의 조건들을 종합하면, $h(x)$가 오직 하나의 극값을 갖기 위한 양수 $a$의 범위는 $0 < a \le 4$입니다.
따라서 $a$의 최댓값 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = 4$$
5단계: $a = 4$ 일 때, $h(3)$의 값 계산하기
이제 $a = 4$일 때, $h(3) = \int_{0}^{3} (g(t) - f(t)) dt$를 계산해 봅시다. 적분 구간 $[0, 3]$을 함수가 갈라지는 기준인 $1$을 기준으로 나누어 계산합니다.
$$h(3) = \int_{0}^{1} (g(t) - f(t)) dt + \int_{1}^{3} (g(t) - f(t)) dt$$
(1) $0 \le t < 1$ 구간의 적분
$$g(t) - f(t) = -t^2 + t$$
$$\int_{0}^{1} (-t^2 + t) dt = \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$
(2) $1 \le t \le 3$ 구간의 적분 ($a=4$ 대입)
$$g(t) - f(t) = (4-t)(t-1) = -t^2 + 5t - 4$$
$$\int_{1}^{3} (-t^2 + 5t - 4) dt = \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{5}{2}t^2 - 4t \right]_{1}^{3}$$
- $t=3$ 대입:
$$-\frac{1}{3}(27) + \frac{5}{2}(9) - 4(3) = -9 + \frac{45}{2} - 12 = -21 + \frac{45}{2} = \frac{3}{2}$$
- $t=1$ 대입:
$$- \frac{1}{3}(1) + \frac{5}{2}(1) - 4(1) = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = \frac{-2 + 15 - 24}{6} = -\frac{11}{6}$$
- 두 값의 차:
$$\frac{3}{2} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{9}{6} + \frac{11}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$
(3) $h(3)$의 최종 값
$$h(3) = \frac{1}{6} + \frac{10}{3} = \frac{1}{6} + \frac{20}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$$
6단계: $k + h(3)$ 구하기
우리가 구하고자 하는 최종 값은 $k + h(3)$입니다.
$$k + h(3) = 4 + \frac{7}{2} = \frac{15}{2}$$
답
정답은 ④번인 $\frac{15}{2}$ 입니다.
확인해보기
만약 $a = 5$라면, 함수 $h(x)$는 몇 개의 극값을 가질까요? 그리고 그 극값들이 존재하는 $x$의 구간은 각각 어디일지 생각해보세요.