어떤 문제인가
이 문제는 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 주어진 규칙에 따라 수열의 항을 차례대로 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수열의 귀납적 정의: 첫째항과 이웃하는 항들 사이의 관계식을 통해 수열을 정의하는 방법입니다.
- 차례대로 대입하기: 복잡한 공식 없이도, $n=1, 2, 3, \dots$을 관계식에 차례대로 대입하면 원하는 항의 값을 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $a_2$ 구하기
우리가 최종적으로 구하고 싶은 것은 $a_3$입니다. 하지만 $a_3$을 바로 구할 수는 없고, 주어진 관계식을 이용해 먼저 $a_2$를 구해야 합니다.
주어진 관계식 $a_{n+1} = n^2 a_n + 1$에 $n=1$을 대입해 봅시다.
$$a_{1+1} = 1^2 \cdot a_1 + 1$$
$$a_2 = 1 \cdot a_1 + 1$$
문제에서 첫째항 $a_1 = 1$이라고 알려주었으므로, 이 값을 대입합니다.
$$a_2 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$$
따라서 $a_2 = 2$임을 알 수 있습니다.
2단계: $a_3$ 구하기
이제 구한 $a_2$의 값을 이용해서 진짜 목표인 $a_3$을 구해봅시다.
관계식 $a_{n+1} = n^2 a_n + 1$에 이번에는 $n=2$를 대입합니다.
$$a_{2+1} = 2^2 \cdot a_2 + 1$$
$$a_3 = 4 \cdot a_2 + 1$$
위의 1단계에서 구한 $a_2 = 2$를 이 식에 대입합니다.
$$a_3 = 4 \cdot 2 + 1$$
$$a_3 = 8 + 1 = 9$$
차근차근 대입하니 어렵지 않게 답을 구할 수 있죠?
답
$$9$$
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
> 질문: 위 문제와 같은 수열 $\{a_n\}$에서, 다음 항인 $a_4$의 값은 무엇일까요? 직접 식을 세워 계산해 보세요!