어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 부정적분 $F(x)$를 구하고, 주어진 조건 $F(0) = 4$를 이용해 상수 값을 알아낸 뒤, 최종적으로 $F(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분의 정의: $F'(x) = f(x)$ 일 때, $F(x) = \int f(x) dx$ 입니다.
- 다항함수의 부정적분 공식: $n$이 음이 아닌 정수일 때, $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (단, $C$는 적분상수)
- **적분상수($C$)의 결정**: 함수에 특정 값을 대입하여 정해지지 않은 상수 $C$의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: $f(x)$의 부정적분 $F(x)$의 식 세우기
먼저 $F(x)$는 $f(x)$의 한 부정적분이므로, $f(x)$를 적분하는 식을 세웁니다.
$$F(x) = \int f(x) dx = \int (4x^3 - 2x) dx$$
다항함수의 적분 공식을 공식에 맞게 항별로 적용해 봅시다.
$$F(x) = 4 \cdot \left(\frac{1}{4}x^4\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) + C$$
식의 계수를 정리하면 다음과 같습니다.
$$F(x) = x^4 - x^2 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
2단계: 조건 $F(0) = 4$를 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
우리가 구한 $F(x)$에는 아직 알지 못하는 상수 $C$가 있습니다. 문제에서 주어진 $F(0) = 4$라는 힌트를 사용해 $C$의 값을 구해봅시다. $F(x)$ 식에 $x = 0$을 대입합니다.
$$F(0) = 0^4 - 0^2 + C = 4$$
따라서 적분상수 $C$의 값은 다음과 같습니다.
$$C = 4$$
이 값을 다시 $F(x)$에 대입하면, 완벽한 $F(x)$의 식을 얻을 수 있습니다.
$$F(x) = x^4 - x^2 + 4$$
3단계: $F(2)$의 값 계산하기
이제 마지막 단계입니다. 완성된 함수 식 $F(x) = x^4 - x^2 + 4$에 $x = 2$를 대입하여 계산합니다.
$$F(2) = 2^4 - 2^2 + 4$$
$$F(2) = 16 - 4 + 4$$
$$F(2) = 16$$
답
$$16$$
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> [스스로 풀어보기]
> 함수 $g(x) = 3x^2 + 2x$ 의 한 부정적분 $G(x)$ 에 대하여 $G(0) = 5$ 일 때, $G(1)$ 의 값은 얼마일까요?