어떤 문제인가
이 문제는 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각의 코사인($\cos$) 값이 주어졌을 때, 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이 $a, b$와 그 끼인각 $\theta$를 알 때, 넓이 $S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$ 입니다.
- 삼각함수의 관계식: 모든 각에 대해 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이 성립합니다.
- 삼각형 내각의 성질: 삼각형의 한 내각 $\theta$는 $0^\circ < \theta < 180^\circ$ 이므로, $\sin\theta$의 값은 항상 양수($+$)입니다.
단계별 풀이
1단계: 필요한 값과 공식 확인하기
삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 $S$, $\angle\text{BAC}$를 편의상 $A$라고 합시다.
우리가 구하고자 하는 삼각형의 넓이 공식은 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times \overline{\text{AB}} \times \overline{\text{AC}} \times \sin A$$
문제에서 $\overline{\text{AB}} = 5$, $\overline{\text{AC}} = 6$이라고 주어졌으니, 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin A = 15\sin A$$
즉, 우리는 **$\sin A$의 값**만 알아내면 넓이를 구할 수 있습니다!
2단계: $\cos A$를 이용하여 $\sin A$ 구하기
문제에서 $\cos A = -\frac{3}{5}$이라고 알려주었습니다. 코사인 값이 음수라는 것은 $A$가 둔각($90^\circ$보다 큰 각)이라는 뜻이에요.
$\sin A$를 구하기 위해 삼각함수의 가장 기본 공식인 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$을 이용해 봅시다.
$$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$$
여기에 $\cos A = -\frac{3}{5}$를 대입합니다.
$$\sin^2 A = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2$$
$$\sin^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
이때 제곱근을 구하면 $\sin A = \pm\frac{4}{5}$가 됩니다.
하지만 삼각형의 내각 $A$는 $0^\circ$보다 크고 $180^\circ$보다 작기 때문에, 이 범위에서 **$\sin A$는 항상 양수**입니다.
따라서 다음과 같습니다.
$$\sin A = \frac{4}{5}$$
3단계: 삼각형의 넓이 계산하기
이제 구한 $\sin A$ 값을 1단계에서 세운 넓이 공식에 대입해 봅시다.
$$S = 15 \times \sin A$$
$$S = 15 \times \frac{4}{5}$$
약분하여 계산하면 다음과 같습니다.
$$S = 3 \times 4 = 12$$
답
$$12$$
확인해보기
배운 내용을 바탕으로 다음 문제를 스스로 풀어보며 이해했는지 확인해 보세요!
> [질문]
> $\overline{\text{AB}} = 4$, $\overline{\text{AC}} = 5$ 이고 $\cos(\angle\text{BAC}) = \frac{3}{5}$ 인 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이는 얼마일까요? (이번에는 코사인 값이 양수네요!)