어떤 문제인가
이 문제는 주어진 닫힌 구간 $[-2, 2]$에서 삼차함수의 값이 항상 $-k$와 $k$ 사이에 있도록 하는 양수 $k$의 범위를 구하고, 그중 가장 작은 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 함수의 최대·최소 정리: 연속함수는 닫힌 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가집니다.
- 도함수를 이용한 그래프 그리기: 미분을 통해 함수의 극댓값과 극솟값을 찾아 그래프의 개형을 파악합니다.
결국, 주어진 식을 하나의 함수 $f(x)$로 두고, 이 함수의 최댓값과 최솟값이 $-k$와 $k$ 사이에 들어가도록 $k$의 조건을 세우는 것이 핵심입니다!
단계별 풀이
1단계: 함수 정의하고 문제 해석하기
먼저 가운데에 있는 삼차식을 함수 $f(x)$로 놓을게요.
$$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 8$$
문제에서 요구하는 조건은 $-2 \le x \le 2$인 모든 $x$에 대하여 다음이 성립하는 것입니다.
$$-k \le f(x) \le k$$
이 말은 $f(x)$의 최솟값도 $-k$보다 크거나 같아야 하고, $f(x)$의 최댓값도 $k$보다 작거나 같아야 한다는 뜻입니다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립해야 해요.
$$\text{최솟값} \ge -k \quad \text{그리고} \quad \text{최댓값} \le k$$
따라서 우리는 구간 $[-2, 2]$에서 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 먼저 구해야 합니다.
2단계: 도함수를 구해 극값 찾기
함수의 그래프 모양을 알기 위해 $f(x)$를 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12$$
기울기가 $0$이 되는 지점(극값의 후보)을 찾기 위해 $f'(x) = 0$ 방정식을 풉니다.
$$6(x^2 + x - 2) = 0$$
$$6(x+2)(x-1) = 0$$
따라서 $x = -2$ 또는 $x = 1$에서 극값을 가질 수 있습니다. 두 값 모두 우리가 조사해야 하는 구간 $[-2, 2]$ 안에 포함되어 있네요!
3단계: 구간의 양 끝값과 극값 계산하기
이제 구간의 양 끝값($x = -2, 2$)과 극값이 되는 점($x = 1$)에서의 함숫값을 각각 계산해 비교해 봅시다. (참고로 $x = -2$는 구간의 끝점이자 극점이기도 합니다.)
- **$x = -2$ 일 때 (구간의 왼쪽 끝이자 극대):**
$$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) - 8$$
$$f(-2) = -16 + 12 + 24 - 8 = 12$$
- **$x = 1$ 일 때 (극소):**
$$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 8$$
$$f(1) = 2 + 3 - 12 - 8 = -15$$
- **$x = 2$ 일 때 (구간의 오른쪽 끝):**
$$f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) - 8$$
$$f(2) = 16 + 12 - 24 - 8 = -4$$
4단계: 최댓값, 최솟값 결정하고 $k$ 범위 구하기
구한 세 값을 비교해 볼까요?
- 가장 큰 값(최댓값)은 $x = -2$일 때의 **$12$**입니다.
- 가장 작은 값(최솟값)은 $x = 1$일 때의 **$-15$**입니다.
따라서 구간 $[-2, 2]$에서 함수 $f(x)$의 치역(값의 범위)은 다음과 같습니다.
$$-15 \le f(x) \le 12$$
이 범위가 $-k \le f(x) \le k$ 안에 완전히 포함되려면:
- 최솟값인 $-15$가 $-k$보다 크거나 같아야 하므로:
$$-k \le -15 \implies k \ge 15$$
- 최댓값인 $12$가 $k$보다 작거나 같아야 하므로:
$$12 \le k \implies k \ge 12$$
이 두 가지 조건을 동시에 만족하는 양수 $k$의 범위는 다음과 같습니다.
$$k \ge 15$$
따라서 양수 $k$의 최솟값은 $15$가 됩니다.
답
$$15$$
확인해보기
만약 문제의 구간이 $[-2, 2]$가 아니라 **$[0, 2]$**로 바뀐다면, 부등식 $-k \le 2x^3 + 3x^2 - 12x - 8 \le k$가 항상 성립하도록 하는 양수 $k$의 최솟값은 얼마가 될까요? (직접 구간 내에서의 최댓값과 최솟값을 다시 구해서 생각해 보세요!)