어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항함수 $f(x)$에 대하여, 특정 극한값의 의미를 파악하고 이를 계산하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: 평균변화율의 극한값인 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$가 바로 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$를 뜻한다는 것을 이해해야 합니다.
- 도함수의 공식 (미분법): 다항함수를 빠르게 미분하는 공식인 $(x^n)' = n x^{n-1}$을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 극한값의 의미 파악하기
문제에서 구하라고 한 식을 가만히 살펴볼까요?
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 **함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수**, 즉 $f'(1)$을 나타냅니다.
따라서 우리는 $f'(1)$의 값을 구하면 됩니다.
2단계: 함수 $f(x)$ 미분하기 (도함수 $f'(x)$ 구하기)
$f'(1)$을 구하기 위해 먼저 함수 $f(x) = 3x^3 + 4x + 1$의 도함수 $f'(x)$를 구해봅시다.
다항함수의 미분 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = (3x^3)' + (4x)' + (1)'$$
$$f'(x) = 3 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 1 + 0$$
$$f'(x) = 9x^2 + 4$$
3단계: $x=1$ 대입하여 미분계수 구하기
이제 구한 도함수 $f'(x) = 9x^2 + 4$에 $x=1$을 대입하여 $f'(1)$의 값을 계산합니다.
$$f'(1) = 9 \cdot (1)^2 + 4$$
$$f'(1) = 9 + 4 = 13$$
따라서 구하고자 하는 극한값은 $13$입니다.
답
**④ $13$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 함수 $g(x) = 2x^2 + 5x$ 일 때, 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$의 값은 얼마일까요? 위에서 배운 단계대로 직접 공책에 풀어보세요!