어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이해하고, 주어진 귀납적 관계식을 활용하여 복잡해 보이는 수열의 합을 간단하게 정리하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수열의 합과 일반항 사이의 관계: $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ (단, $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$)
- **시그마($\sum$)의 성질과 대입**: 복잡한 합의 기호를 전개하여 우리가 아는 형태로 변형하기
- 일차방정식의 풀이: 주어진 조건에 값을 대입하여 미지수 구하기
단계별 풀이
1단계: (가)에 알맞은 식 $f(n)$ 구하기
문제에서 $a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k$라고 친절하게 힌트를 주었습니다. 편의상 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$라고 하면, 문제에 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$S_n = \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{6}n^2 - \frac{1}{6}n + 10 \quad (n \ge 2)$$
이 식의 $n$ 자리에 $n+1$을 대입하면 $S_{n+1}$을 구할 수 있습니다.
$$S_{n+1} = \frac{2}{3}a_{n+1} + \frac{1}{6}(n+1)^2 - \frac{1}{6}(n+1) + 10$$
이제 $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$을 계산해 봅시다.
$$a_{n+1} = \left[ \frac{2}{3}a_{n+1} + \frac{1}{6}(n+1)^2 - \frac{1}{6}(n+1) + 10 \right] - \left[ \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{6}n^2 - \frac{1}{6}n + 10 \right]$$
동류항끼리 묶어서 정리해 볼까요?
$$a_{n+1} = \frac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + \frac{1}{6} \left[ (n+1)^2 - n^2 \right] - \frac{1}{6} \left[ (n+1) - n \right]$$
$$a_{n+1} = \frac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + \frac{1}{6}(2n+1) - \frac{1}{6}$$
$$a_{n+1} = \frac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + \frac{1}{3}n$$
따라서 빈칸 (가)에 들어갈 식은 다음과 같습니다.
$$\text{(가)} = f(n) = \frac{1}{3}n$$
*(참고: 이 식을 정리하면 $a_{n+1} = \frac{2}{3}a_{n+1} - \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}n \implies \frac{1}{3}a_{n+1} + \frac{2}{3}a_n = \frac{1}{3}n$이 되므로, 양변에 $3$을 곱하면 문제에 제시된 ㉠식인 $2a_n + a_{n+1} = n$이 나옵니다.)*
2단계: (나)에 알맞은 수 $p$ 구하기
이제 $a_2$의 값인 $p$를 구해봅시다. 문제에서 준 처음 식에 $n=2$를 대입합니다.
$$\sum_{k=1}^{2} a_k = \frac{2}{3}a_2 + \frac{1}{6}(2)^2 - \frac{1}{6}(2) + 10$$
좌변은 $a_1 + a_2$이고, 문제에서 $a_1 = 7$이라고 주었으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$7 + a_2 = \frac{2}{3}a_2 + \frac{4}{6} - \frac{2}{6} + 10$$
$$7 + a_2 = \frac{2}{3}a_2 + \frac{1}{3} + 10$$
양변에서 $\frac{2}{3}a_2$와 $7$을 이항하여 정리합니다.
$$a_2 - \frac{2}{3}a_2 = 10 + \frac{1}{3} - 7$$
$$\frac{1}{3}a_2 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$$
양변에 $3$을 곱하면 $a_2$를 구할 수 있습니다.
$$a_2 = 10$$
따라서 빈칸 (나)에 들어갈 수는 다음과 같습니다.
$$\text{(나)} = p = 10$$
3단계: (다)에 알맞은 수 $q$ 구하기
우리가 구해야 하는 식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^{5} a_{2k+1}$$
이 식을 문제에 나온 대로 변형해 봅시다. ㉠에서 구한 관계식 $2a_n + a_{n+1} = n$을 이용하기 위해 식을 묶어주는 과정입니다.
$$\sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^{5} a_{2k+1} = a_1 + a_2 + \sum_{k=1}^{5} (2a_{2k+1} + a_{2k+2})$$
여기서 $2a_{2k+1} + a_{2k+2}$ 부분을 주목해 보세요.
㉠식 $2a_n + a_{n+1} = n$에 $n = 2k+1$을 대입한 형태와 정확히 일치합니다! ($k \ge 1$이므로 $n = 2k+1 \ge 3$이 되어 $n \ge 2$ 조건도 만족합니다.)
따라서 다음이 성립합니다.
$$2a_{2k+1} + a_{2k+2} = 2k+1$$
이것을 시그마 식에 대입하여 계산해 봅시다.
$$a_1 + a_2 + \sum_{k=1}^{5} (2k+1)$$
우리는 $a_1 = 7$, $a_2 = 10$임을 알고 있으므로 대입합니다.
$$7 + 10 + \sum_{k=1}^{5} (2k+1)$$
$$= 17 + \left( 2 \sum_{k=1}^{5} k + \sum_{k=1}^{5} 1 \right)$$
$$= 17 + \left( 2 \times \frac{5 \times 6}{2} + 5 \right)$$
$$= 17 + (30 + 5)$$
$$= 17 + 35 = 52$$
따라서 빈칸 (다)에 들어갈 수는 다음과 같습니다.
$$\text{(다)} = q = 52$$
4단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $\frac{p \times q}{f(12)}$입니다.
- $p = 10$
- $q = 52$
- $f(12) = \frac{1}{3} \times 12 = 4$
이 값들을 대입하여 계산합니다.
$$\frac{10 \times 52}{4} = 10 \times 13 = 130$$
답
$$130$$
확인해보기
오늘 배운 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> [질문]
> 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $S_n = n^2 + 3n$입니다. 이 수열의 제 $5$항인 $a_5$의 값은 어떻게 구할 수 있을까요? 직접 식을 세워 계산해 보세요.