어떤 문제인가
삼차함수 $f$로 정의된 함수 $g$가 연속이 되는 조건과 두 조건 (가), (나)를 모두 만족할 때 $g(-5)$의 값을 구하는 문제예요. 풀이의 뼈대는 이래요. $g$의 연속성에서 $f(t)=0$, 조건 (가)에서 $f(0)=f(2)=0$이 강제되므로 $f(x)=kx(x-2)(x-r)$ ($k>0$) 꼴이고 $t\in\{0,2,r\}$이에요. 이때 $\dfrac{g(x)}{x(x-2)}=\pm k(x-r)$로 단순화되어, 우극한이 음수가 되는 자연수 집합을 $t$의 위치에 따라 분류하면 돼요. 사용할 개념은 함수의 연속, 극한의 존재 조건, 경우 나누기예요.
단계별 풀이
- 연속 조건부터 살펴요. $x=t$에서 $-f(t)=f(t)$이므로 $f(t)=0$, 즉 $t$는 $f$의 근이에요.
- 조건 (가)를 해석해요. 분모 $x(x-2)$가 0이 되는 $a=0,\,2$에서 우극한이 존재하려면 분자도 0이어야 하므로 $g(0)=g(2)=0$, 즉 $f(0)=f(2)=0$이에요. 따라서
$$f(x)=kx(x-2)(x-r)\quad(k>0)$$
이고, $f(t)=0$에서 $t\in\{0,\,2,\,r\}$이에요.
- 우극한의 부호를 정리해요. $h(m)=\lim_{x\to m+}\dfrac{g(x)}{x(x-2)}$라 하면
- $m\ge t$이면 $h(m)=k(m-r)$ (음수 $\iff m<r$)
- $m<t$이면 $h(m)=-k(m-r)$ (음수 $\iff m>r$)
- **$t$의 위치에 따라 경우를 나눠요.** 조건 (나)의 집합은 서로 다른 두 자연수 $\{g(-1),\,-\frac72 g(1)\}$이어야 해요.
- **$t=r$인 경우:** $m\ge r$이면 $k(m-r)\ge0$, $m<r$이면 $k(r-m)>0$이므로 집합이 공집합이 돼요. 모순이에요.
- **$t=0$인 경우:** 모든 자연수 $m\ge t$이므로 집합 $=\{m\in\mathbb N: m<r\}$이에요. 두 원소이려면 $\{1,2\}$, 즉 $2<r\le3$이어야 해요. 그런데 $g(1)=f(1)=k(r-1)>0$이므로 $-\frac72 g(1)<0$이 되어 자연수가 될 수 없어요. 모순이에요.
- **$t=2$인 경우:** $m=1(<t)$은 $1>r$일 때만 음수, $m\ge2$는 $m<r$일 때 음수예요. $r<1$이면 집합 $=\{1\}$ (한 원소, 모순)이에요. $r\ge1$이면 집합 $=\{m\ge2: m<r\}$이고 두 원소이려면 $\{2,3\}$, 즉 $3<r\le4$이어야 해요.
- **$t=2$에서 $k,\,r$를 결정해요.** $x=-1<2$, $x=1<2$이므로
$$g(-1)=-f(-1)=3k(1+r),\qquad g(1)=-f(1)=-k(r-1),\qquad -\tfrac72 g(1)=\tfrac72 k(r-1)$$
이에요. $\{3k(1+r),\,\tfrac72k(r-1)\}=\{2,3\}$에서
- $3k(1+r)=2,\ \tfrac72k(r-1)=3$이면 $r=-8$로 범위 밖이라 기각해요.
- $3k(1+r)=3,\ \tfrac72k(r-1)=2$이면 $k(1+r)=1$, $7k(r-1)=4$에서 $\dfrac{7(r-1)}{1+r}=4$, 즉 $3r=11$, $r=\dfrac{11}{3}\in(3,4]$이므로 채택해요. $k=\dfrac{1}{1+11/3}=\dfrac{3}{14}$예요.
따라서 $f(x)=\dfrac{3}{14}x(x-2)\left(x-\dfrac{11}{3}\right)$, $t=2$예요.
- **$g(-5)$를 계산해요.** $-5<t=2$이므로
$$g(-5)=-f(-5)=-\frac{3}{14}(-5)(-7)\left(-5-\frac{11}{3}\right)=-\frac{3}{14}\cdot35\cdot\left(-\frac{26}{3}\right)=\frac{910}{14}=65.$$
검산
구한 $f$를 다시 조건에 넣어 확인해 보면 $h(1+)=\frac{4}{7}>0$, $h(2+)=-\frac{5}{14}<0$, $h(3+)=-\frac17<0$, $h(4+)=\frac{1}{14}>0$이고 이후는 모두 양수라서 우극한이 음수인 자연수 집합은 정확히 $\{2,3\}$이에요. 또한 $g(-1)=3$, $-\frac72 g(1)=-\frac72\cdot\left(-\frac47\right)=2$이므로 $\{g(-1),\,-\frac72g(1)\}=\{3,2\}=\{2,3\}$이고 $g(-1)\ne-\frac72g(1)$ 조건도 충족돼요. $g(-5)=65$도 수치로 확인됐어요.
답
$$g(-5)=65$$
확인해보기
$t=0$인 경우가 왜 모순이 되는지, $-\frac72 g(1)$의 부호를 직접 따져서 스스로 설명해 볼까요?