어떤 문제인가
이 문제는 지수함수와 로그함수의 그래프 위에 있는 두 점의 기하학적 관계를 파악하고, 대칭이동과 내분점(중점)의 성질을 이용하여 미지수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 대칭이동: 점 $(x, y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하면 $x$좌표와 $y$좌표가 서로 바뀌어 $(y, x)$가 됩니다.
- 세 점이 한 직선 위에 있을 조건: 세 점 $O, A', B$가 한 직선 위에 있다면, 원점 $O$에서 두 점 $A'$와 $B$로 향하는 직선의 기울기가 서로 같습니다.
- 중점 공식: 두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$의 중점의 좌표는 $\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$입니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 문자로 나타내고 중점 조건 활용하기
먼저 점 $\mathrm{A}(a, b)$는 곡선 $y = \log_{16}(8x + 2)$ 위의 점이므로 다음 식이 성립합니다.
$$b = \log_{16}(8a + 2)$$
로그의 정의에 의해 지수 형태로 바꾸면 다음과 같습니다.
$$16^b = 8a + 2 \implies 2^{4b} = 8a + 2$$
이를 $a$에 대해 정리해 두면 나중에 대입하기 편합니다.
$$8a = 2^{4b} - 2 \implies a = 2^{4b-3} - \frac{1}{4} \quad \cdots \text{(식 1)}$$
이제 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $\mathrm{B}(x_B, y_B)$라고 합시다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표가 $\left( \frac{77}{8}, \frac{133}{8} \right)$이므로, 중점 공식을 사용해 식을 세웁니다.
$$\frac{a + x_B}{2} = \frac{77}{8} \implies a + x_B = \frac{77}{4} \implies x_B = \frac{77}{4} - a$$
$$\frac{b + y_B}{2} = \frac{133}{8} \implies b + y_B = \frac{133}{4} \implies y_B = \frac{133}{4} - b$$
2단계: 대칭이동과 세 점이 한 직선 위에 있을 조건 적용하기
점 $\mathrm{A}(a, b)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$라고 하면, $\mathrm{A}'$의 좌표는 $(b, a)$가 됩니다.
문제에서 점 $\mathrm{A}'(b, a)$가 직선 $\mathrm{OB}$ 위에 있다고 했습니다. 원점 $\mathrm{O}(0,0)$, 점 $\mathrm{A}'(b, a)$, 점 $\mathrm{B}(x_B, y_B)$가 모두 한 직선 위에 있으므로, 원점과 두 점을 잇는 직선의 기울기가 같습니다.
$$\frac{a}{b} = \frac{y_B}{x_B} \implies a x_B = b y_B$$
여기에 1단계에서 구한 $x_B$와 $y_B$를 대입합니다.
$$a \left( \frac{77}{4} - a \right) = b \left( \frac{133}{4} - b \right)$$
$$\frac{77}{4}a - a^2 = \frac{133}{4}b - b^2$$
이를 정리하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$b^2 - a^2 = \frac{133}{4}b - \frac{77}{4}a \quad \cdots \text{(식 2)}$$
3단계: 점 $\mathrm{B}$가 곡선 위에 있을 조건 적용하기
점 $\mathrm{B}(x_B, y_B)$는 곡선 $y = 4^{x-1} - \frac{1}{2}$ 위의 점이므로 대입해 줍니다.
$$y_B = 4^{x_B-1} - \frac{1}{2}$$
여기에 $x_B = \frac{77}{4} - a$와 $y_B = \frac{133}{4} - b$를 대입합니다.
$$\frac{133}{4} - b = 4^{\left(\frac{77}{4} - a\right) - 1} - \frac{1}{2}$$
$$\frac{133}{4} - b = 4^{\frac{73}{4} - a} - \frac{1}{2}$$
양변에 $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$를 더해 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{135}{4} - b = 4^{\frac{73}{4} - a} = 2^{\frac{73}{2} - 2a} \quad \cdots \text{(식 3)}$$
4단계: 대칭이동한 점과 점 $\mathrm{B}$의 관계 구하기
복잡한 연립방정식을 바로 풀기 전에 두 곡선 사이의 관계를 살펴봅시다. $16^b=8a+2$의 양변을 $4$로 나누면 다음과 같습니다.
$$4^{2b-1}=2a+\frac12$$
따라서 점 $\mathrm{C}(2b,2a)$도 곡선 $y=4^{x-1}-\frac12$ 위에 있습니다. 이 점은 $\mathrm{A}'(b,a)$를 원점에서 두 배만큼 멀리 옮긴 점이므로, $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}$와 같은 직선 위에 있습니다.
여기서 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$가 같은 점인지 확인해야 합니다. $h(x)=4^{x-1}-\frac12$라고 하면, 원점과 곡선 위의 점 $(x,h(x))$를 잇는 직선의 기울기는 $\frac{h(x)}x$입니다. $x>0$에서 이 기울기가 증가함을 확인해 봅시다.
$$\left(\frac{h(x)}x\right)'=\frac{xh'(x)-h(x)}{x^2}$$
분자를 $U(x)=xh'(x)-h(x)$라고 하면,
$$U(0)=\frac14>0,\qquad U'(x)=xh''(x)>0\quad(x>0)$$
이므로 $U(x)>0$입니다. 따라서 $\frac{h(x)}x$는 $x>0$에서 엄격히 증가하고, 원점에서 나가는 같은 반직선은 이 곡선과 제1사분면에서 한 번만 만납니다.
$\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$는 모두 제1사분면에 있으므로 두 점은 일치합니다.
$$\mathrm{B}=(2b,2a)$$
이제 중점 조건을 적용하면 간단한 연립방정식을 얻습니다.
$$a+2b=\frac{77}{4},\qquad 2a+b=\frac{133}{4}$$
첫 번째 식을 두 배 한 식에서 두 번째 식을 빼면,
$$3b=\frac{21}{4}\implies b=\frac74$$
이 값을 첫 번째 식에 대입하면,
$$a=\frac{77}{4}-\frac{14}{4}=\frac{63}{4}$$
원래 곡선의 식에도 대입해 확인해 봅시다.
$$\log_{16}\left(8\cdot\frac{63}{4}+2\right)=\log_{16}128=\frac74$$
따라서 모든 조건을 만족하는 값을 정확하게 구했습니다.
5단계: 최종 값 계산하기
구하고자 하는 값은 $a \times b = \frac{q}{p}$입니다.
$$a \times b = \frac{63}{4} \times \frac{7}{4} = \frac{441}{16}$$
$441 = 3^2 \times 7^2$이고 $16 = 2^4$이므로, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
따라서 $p = 16$, $q = 441$입니다.
$$p + q = 16 + 441 = 457$$
답
$$457$$
확인해보기
질문: 점 $\mathrm{A}(a, b)$를 직선 $y=x$에 대칭이동한 점 $\mathrm{A}'(b, a)$와 원점 $\mathrm{O}(0,0)$, 그리고 점 $\mathrm{B}(x_B, y_B)$가 한 직선 위에 있을 때, 왜 $a x_B = b y_B$라는 식이 성립할까요? 기울기의 개념을 사용하여 스스로 설명해 보세요.