어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 성질**을 이해하고 사용할 수 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 성질 (덧셈, 뺄셈의 분배와 상수배):
- $\sum (x_k \pm y_k) = \sum x_k \pm \sum y_k$
- $\sum c \cdot x_k = c \sum x_k$ (단, $c$는 상수)
- 자연수의 합 계산: $1$부터 $4$까지의 자연수의 합을 구하는 방법
단계별 풀이
1단계: 시그마의 성질을 이용하여 식을 분리하기
시그마 기호($\sum$)는 더하거나 빼지는 각 항에 각각 나누어 줄 수 있고, 변수 $k$와 상관없는 상수(숫자)는 시그마 앞으로 꺼낼 수 있습니다.
주어진 식 $\sum_{k=1}^{4} (2a_k - k) = 0$에 이 성질을 적용해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{4} (2a_k - k) = \sum_{k=1}^{4} 2a_k - \sum_{k=1}^{4} k = 0$$
여기서 $2a_k$의 상수 $2$를 시그마 앞으로 꺼내면 다음과 같이 정리됩니다.
$$2\sum_{k=1}^{4} a_k - \sum_{k=1}^{4} k = 0$$
우리가 구하고자 하는 값인 $\sum_{k=1}^{4} a_k$가 식에 나타났습니다! 이제 나머지 부분만 계산하면 되겠네요.
2단계: 자연수의 합 부분($\sum_{k=1}^{4} k$) 계산하기
식의 뒷부분인 $\sum_{k=1}^{4} k$의 값을 구해봅시다. 이 식은 $k$에 $1$부터 $4$까지 차례대로 대입하여 더하라는 뜻입니다.
$$\sum_{k=1}^{4} k = 1 + 2 + 3 + 4$$
직접 더해보면 다음과 같습니다.
$$1 + 2 + 3 + 4 = 10$$
3단계: 대입하여 최종 답 구하기
2단계에서 구한 값($10$)을 1단계에서 정리한 식에 대입해 봅시다.
$$2\sum_{k=1}^{4} a_k - 10 = 0$$
이 식을 우리가 구하려는 $\sum_{k=1}^{4} a_k$에 대해 정리해 볼까요? 양변에 $10$을 더합니다.
$$2\sum_{k=1}^{4} a_k = 10$$
양변을 $2$로 나누면 우리가 원하는 답을 얻을 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{4} a_k = 5$$
답
**⑤ $5$**
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> [질문]
> 수열 $\{b_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} (3b_k + 2) = 25$일 때, $\sum_{k=1}^{5} b_k$의 값은 얼마일까요?
> *(힌트: 상수의 합인 $\sum_{k=1}^{5} 2$는 $2$를 $5$번 더한다는 뜻이므로 $2 \times 5 = 10$이 됩니다!)*