어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 미지수 $a$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 하는 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속 (Continuity): 그래프가 끊어지지 않고 한 줄로 이어져 있는 것을 말합니다. 수학적으로 $x=c$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$$
- 경계점에서의 연속성: $x < 1$과 $x \ge 1$일 때의 함수가 각각 다항함수(일차함수, 이차함수)이므로 각 구간에서는 항상 연속입니다. 따라서 식의 모양이 바뀌는 경계점인 **$x = 1$에서만 연속**이 되도록 만들어주면 됩니다.
단계별 풀이
1단계: $x=1$에서의 좌극한 구하기
$x$가 $1$보다 작은 쪽에서 $1$에 가까워질 때($x < 1$)의 함수 식은 $f(x) = 3x - 2$입니다. 이 식에 $x=1$을 대입하여 좌극한을 구합니다.
$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x - 2) = 3(1) - 2 = 1$$
2단계: $x=1$에서의 우극한과 함숫값 구하기
$x$가 $1$보다 큰 쪽에서 $1$에 가까워질 때($x \ge 1$)의 함수 식은 $f(x) = x^2 - 3x + a$입니다. 이 식에 $x=1$을 대입하여 우극한과 함숫값 $f(1)$을 구합니다.
$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 - 3(1) + a = 1 - 3 + a = a - 2$$
3단계: 연속 조건 적용하여 $a$ 구하기
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속이려면, 1단계에서 구한 좌극한 값과 2단계에서 구한 우극한(함숫값)이 서로 같아야 합니다.
$$\text{좌극한} = \text{우극한}$$
$$1 = a - 2$$
이 방정식을 풀기 위해 양변에 $2$를 더해줍니다.
$$a = 3$$
따라서 상수 $a$의 값은 $3$입니다.
답
③ $3$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 함수 $g(x) = \begin{cases} 2x + k & (x < 2) \\ x^2 - 1 & (x \ge 2) \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 상수 $k$의 값은 얼마가 되어야 할까요?
> (위에서 배운 단계대로 천천히 계산해 보세요!)