어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$를 구한 뒤, $x=1$에서의 미분계수 $f'(1)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곱의 미분법: 두 함수가 곱해진 형태인 $y = g(x)h(x)$를 미분할 때는 $y' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$ 공식을 사용합니다.
- 다항함수의 미분: $y = x^n$을 미분하면 $y' = n x^{n-1}$이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 곱의 미분법 공식 적용하기
주어진 함수 $f(x) = (x+2)(2x^2-x-2)$는 두 식 $(x+2)$와 $(2x^2-x-2)$가 곱해진 형태입니다. 식을 일일이 전개해서 미분할 수도 있지만, 곱의 미분법을 사용하면 더 빠르고 실수 없이 계산할 수 있습니다.
곱의 미분법 공식인 $(g \cdot h)' = g'h + gh'$를 적용하기 위해 두 부분을 각각 미분해 봅시다.
- 앞의 식 미분: $(x+2)' = 1$
- 뒤의 식 미분: $(2x^2-x-2)' = 4x-1$
2단계: 도함수 $f'(x)$ 구하기
이제 곱의 미분법 공식에 맞춰서 $f'(x)$를 식의 형태로 나타내 봅니다.
"앞의 식 미분 $\times$ 뒤의 식 그대로" + "앞의 식 그대로 $\times$ 뒤의 식 미분"을 해주는 것입니다.
$$f'(x) = 1 \cdot (2x^2-x-2) + (x+2)(4x-1)$$
3단계: $x=1$ 대입하여 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $f'(1)$이므로, 굳이 위의 식을 복잡하게 전개할 필요 없이 바로 $x=1$을 대입하면 계산이 훨씬 간단해집니다.
$x=1$을 대입해 볼까요?
$$f'(1) = (2(1)^2 - 1 - 2) + (1+2)(4(1)-1)$$
$$f'(1) = (2 - 1 - 2) + (3)(3)$$
$$f'(1) = -1 + 9$$
$$f'(1) = 8$$
따라서 구하고자 하는 값은 $8$입니다.
답
③ $8$
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: 함수 $g(x) = (x^2+1)(3x-2)$에 대하여 $g'(1)$의 값은 무엇일까요? 곱의 미분법을 사용하여 차근차근 계산해 보세요!