어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 개의 로그 방정식을 연립하여 두 실수 $a$, $b$의 관계를 파악하고, 최종적으로 물어보는 로그 식의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 로그의 정의: $\log_a b = c \iff b = a^c$ (단, $a > 0, a \neq 1, b > 0$)
- 로그의 성질: $\log_a x^y = y \log_a x$, $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$
- 지수법칙: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건에서 $a$와 $b$의 관계식 구하기
첫 번째 조건인 $\log_a b = 3$을 로그의 정의를 사용해 지수 형태로 바꾸어 봅시다. 로그의 밑인 $a$를 반대편의 지수의 밑으로 보내면 됩니다.
$$\log_a b = 3 \implies b = a^3$$
이렇게 $b$를 $a$에 대한 식으로 간단하게 나타낼 수 있습니다.
2단계: 두 번째 조건에 대입하여 $a$의 값 구하기
두 번째 조건은 $\log_3 \frac{b}{a} = \frac{1}{2}$입니다. 여기에 1단계에서 구한 $b = a^3$을 대입해 봅시다.
$$\log_3 \frac{a^3}{a} = \frac{1}{2}$$
진수 부분을 정리하면 $\frac{a^3}{a} = a^2$이 되므로, 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\log_3 a^2 = \frac{1}{2}$$
로그의 성질에 의해 진수의 지수 $2$는 로그 앞으로 나올 수 있습니다.
$$2 \log_3 a = \frac{1}{2}$$
양변을 $2$로 나누면 다음과 같습니다.
$$\log_3 a = \frac{1}{4}$$
로그의 정의를 다시 이용하여 $a$를 구하면 다음과 같습니다.
$$a = 3^{\frac{1}{4}}$$
3단계: $ab$의 값 구하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 식은 $\log_9 ab$이므로, 진수에 있는 $ab$의 값을 먼저 구해봅시다.
$b = a^3$이므로 $ab = a \times a^3 = a^4$입니다.
여기에 2단계에서 구한 $a = 3^{\frac{1}{4}}$을 대입해 봅시다.
$$ab = a^4 = \left(3^{\frac{1}{4}}\right)^4 = 3^1 = 3$$
아주 깔끔하게 $ab = 3$이라는 값을 얻었습니다!
4단계: 최종 답 계산하기
이제 구하고자 하는 식인 $\log_9 ab$에 $ab = 3$을 대입합니다.
$$\log_9 ab = \log_9 3$$
밑인 $9$는 $3^2$으로 쓸 수 있습니다. 밑의 지수는 로그 앞으로 나갈 때 분모로 간다는 성질($\log_{x^n} y = \frac{1}{n} \log_x y$)을 이용해 봅시다.
$$\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} \log_3 3$$
$\log_3 3 = 1$이므로, 최종 계산 결과는 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$$
답
**② $\frac{1}{2}$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문]
> $1$보다 큰 두 실수 $a$, $b$가
> $$\log_a b = 2, \quad \log_2 \frac{b}{a} = 1$$
> 을 만족시킬 때, $a$와 $b$의 값은 각각 얼마일까요? (위 풀이의 1단계와 2단계를 차근차근 적용해 보세요!)