어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선과 하나의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다. 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 두 곡선의 위치 관계와 교점: 어느 함수가 위에 있고 어느 함수가 아래에 있는지, 그리고 어디서 만나는지 확인합니다.
- 정적분을 이용한 넓이 구하기: 구간 $[a, b]$에서 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$ (단, $f(x) \ge g(x)$)로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 다음과 같이 구합니다.
$$S = \int_{a}^{b} \{f(x) - g(x)\} \, dx$$
단계별 풀이
1단계: 적분 구간 정하기
두 곡선이 만나는 점(교점)과 주어진 직선 $x=2$를 통해 적분할 범위를 정해야 합니다.
먼저 두 곡선 $y = x^2 + 3$과 $y = -\frac{1}{5}x^2 + 3$의 교점의 $x$좌표를 구해봅시다. 두 식을 같다고 놓으면,
$$x^2 + 3 = -\frac{1}{5}x^2 + 3$$
양변에서 $3$을 빼면,
$$x^2 = -\frac{1}{5}x^2$$
$$\frac{6}{5}x^2 = 0 \implies x = 0$$
따라서 두 곡선은 $x=0$에서 만납니다. 문제에서 주어진 또 다른 경계선이 $x=2$이므로, 우리가 넓이를 구해야 하는 $x$의 범위(적분 구간)는 **$0$부터 $2$까지**($[0, 2]$)가 됩니다.
2단계: 위아래 함수 구분하기
구간 $[0, 2]$에서 어떤 곡선이 더 위쪽에 있는지 확인해 봅시다.
- 위로 볼록한 곡선과 아래로 볼록한 곡선의 식을 비교해 보면, $x^2 \ge 0$이므로 항상 다음이 성립합니다.
$$x^2 + 3 \ge -\frac{1}{5}x^2 + 3$$
- 따라서 더 위에 있는 함수는 $f(x) = x^2 + 3$이고, 아래에 있는 함수는 $g(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 3$입니다.
3단계: 정적분 식 세우고 계산하기
이제 '위의 식'에서 '아래의 식'을 뺀 후, $0$부터 $2$까지 정적분을 해봅시다.
$$S = \int_{0}^{2} \left\{ (x^2 + 3) - \left(-\frac{1}{5}x^2 + 3\right) \right\} \, dx$$
괄호 안을 먼저 정리해 볼까요? $3$이 서로 지워지네요!
$$(x^2 + 3) + \frac{1}{5}x^2 - 3 = \frac{6}{5}x^2$$
따라서 식은 다음과 같이 간단해집니다.
$$S = \int_{0}^{2} \frac{6}{5}x^2 \, dx$$
이제 부정적분을 구합니다. $x^2$을 적분하면 $\frac{1}{3}x^3$이 되므로,
$$S = \left[ \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{2}{5}x^3 \right]_{0}^{2}$$
여기에 위끝 $2$와 아래끝 $0$을 대입하여 계산합니다.
$$S = \left( \frac{2}{5} \cdot 2^3 \right) - \left( \frac{2}{5} \cdot 0^3 \right)$$
$$S = \frac{2}{5} \cdot 8 - 0 = \frac{16}{5}$$
답
**⑤ $\frac{16}{5}$**
확인해보기
만약 다른 조건은 모두 같고, 오른쪽 경계선이 $x = 2$가 아니라 **$x = 3$**으로 바뀐다면, 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위한 정적분 식은 어떻게 변할지 스스로 식을 세워보세요!