어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수 식과 부등식을 활용하여 $\sin\theta$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 삼각함수 사이의 관계: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- 각 변환 공식: $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면의 각이냐에 따라 $\sin\theta, \cos\theta$의 부호가 결정됩니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건 식 정리하기
주어진 식 $\sin\theta + 3\cos\theta = 0$을 이항하여 $\sin\theta$와 $\cos\theta$ 사이의 관계를 먼저 찾아봅시다.
$$\sin\theta = -3\cos\theta$$
이 식은 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 부호가 서로 반대라는 것을 알려줍니다. 즉, 하나가 양수이면 다른 하나는 음수여야 합니다.
2단계: 두 번째 조건을 통해 부호 결정하기
두 번째 조건인 $\cos(\pi-\theta) > 0$을 분석해 봅시다.
각 변환 공식에 의해 $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$가 성립합니다. 따라서 조건은 다음과 같이 바뀝니다.
$$-\cos\theta > 0$$
양변에 $-1$을 곱하면 부등호 방향이 바뀌므로, 다음을 얻을 수 있습니다.
$$\cos\theta < 0$$
$\cos\theta$가 음수이므로, 1단계에서 구한 식 $\sin\theta = -3\cos\theta$에 대입하면 $\sin\theta$의 부호도 알 수 있습니다. 음수에 $-3$을 곱했으므로 $\sin\theta$는 양수가 되어야 합니다.
$$\sin\theta > 0$$
(참고: $\cos\theta < 0$이고 $\sin\theta > 0$이므로 $\theta$는 제2사분면의 각입니다.)
3단계: 삼각함수 공식 대입하여 값 구하기
이제 삼각함수의 가장 기본 공식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에 1단계에서 구한 $\sin\theta = -3\cos\theta$를 대입해 봅시다.
$$(-3\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$$
괄호를 풀어 정리하면,
$$9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$$10\cos^2\theta = 1$$
$$\cos^2\theta = \frac{1}{10}$$
2단계에서 $\cos\theta < 0$임을 확인했으므로, 제곱근을 구할 때 음수 값을 택합니다.
$$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$
우리가 구하고자 하는 것은 $\sin\theta$이므로, 다시 $\sin\theta = -3\cos\theta$ 식에 대입합니다.
$$\sin\theta = -3 \times \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$
답
**① $\frac{3\sqrt{10}}{10}$**
확인해보기
만약 문제의 조건 중에서 $\cos(\pi-\theta) > 0$이 아니라 **$\cos(\pi-\theta) < 0$**으로 바뀐다면, $\sin\theta$의 값은 어떻게 변할지 스스로 생각하고 계산해 보세요.