어떤 문제인가
이 문제는 미지수 $a$를 포함한 삼차함수 $f(x)$의 식을 완성하고, 최종적으로 $f(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수와 극대·극소: 삼차함수의 그래프 모양을 파악하기 위해 미분을 이용해 접선의 기울기가 $0$이 되는 지점(극대, 극소)을 찾습니다.
- 상수함수 접선의 성질: 직선 $y=5$는 가로로 평평한 직선(상수함수)입니다. 이 직선이 삼차함수 그래프에 접한다는 것은, 삼차함수의 **극댓값 또는 극솟값이 $5$**가 되어야 함을 의미합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하여 극점이 어디서 생기는지 찾기
함수의 그래프가 어떻게 그려지는지 알아보기 위해 먼저 미분을 하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다. 접선의 기울기가 $0$이 되는 곳에서 극대 또는 극소가 발생하기 때문입니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 6ax - 9a^2$$
이 도함수가 $0$이 되는 $x$ 값을 찾아봅시다. 인수분해를 이용합니다.
$$3(x^2 + 2ax - 3a^2) = 0$$
$$3(x + 3a)(x - a) = 0$$
따라서 $x = -3a$ 또는 $x = a$에서 극값을 가집니다.
2단계: 극대와 극소 구분하기
문제에서 $a$는 **양수($a > 0$)**라고 했습니다.
따라서 두 지점의 대소 관계는 $-3a < a$가 됩니다.
삼차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$(양수)이므로, 그래프는 오른쪽 위로 올라가는 형태입니다.
- 더 왼쪽에 있는 $x = -3a$에서 극대를 가집니다.
- 더 오른쪽에 있는 $x = a$에서 극소를 가집니다.
3단계: 직선 $y=5$가 접하는 조건 적용하기
직선 $y=5$는 기울기가 $0$인 가로선입니다. 이 선이 곡선 $y=f(x)$에 접하려면 다음 두 가지 경우 중 하나여야 합니다.
- 경우 1: 극댓값이 $5$인 경우 ($f(-3a) = 5$)
- 경우 2: 극솟값이 $5$인 경우 ($f(a) = 5$)
이 두 가지 경우를 각각 계산해서 양수 $a$가 나오는 조건을 찾아봅시다.
4단계: $a > 0$ 조건을 만족하는 $a$ 구하기
**[경우 1] 극댓값이 $5$일 때: $f(-3a) = 5$**
$f(x)$ 식의 $x$ 자리에 $-3a$를 대입합니다.
$$f(-3a) = (-3a)^3 + 3a(-3a)^2 - 9a^2(-3a) + 4$$
$$f(-3a) = -27a^3 + 27a^3 + 27a^3 + 4$$
$$f(-3a) = 27a^3 + 4$$
이 값이 $5$가 되어야 하므로,
$$27a^3 + 4 = 5$$
$$27a^3 = 1$$
$$a^3 = \frac{1}{27}$$
$a$는 실수이므로 $a = \frac{1}{3}$입니다. 이는 $a > 0$이라는 조건을 만족합니다!
**[경우 2] 극솟값이 $5$일 때: $f(a) = 5$**
$f(x)$ 식의 $x$ 자리에 $a$를 대입합니다.
$$f(a) = a^3 + 3a(a^2) - 9a^2(a) + 4$$
$$f(a) = a^3 + 3a^3 - 9a^3 + 4$$
$$f(a) = -5a^3 + 4$$
이 값이 $5$가 되어야 하므로,
$$-5a^3 + 4 = 5$$
$$-5a^3 = 1$$
$$a^3 = -\frac{1}{5}$$
이 경우 $a$는 음수가 되므로, 문제의 조건인 $a > 0$에 어긋납니다.
따라서 우리가 찾는 값은 **$a = \frac{1}{3}$**입니다.
5단계: $f(2)$의 값 계산하기
구한 $a = \frac{1}{3}$을 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 식을 완성합니다.
$$f(x) = x^3 + 3\left(\frac{1}{3}\right)x^2 - 9\left(\frac{1}{3}\right)^2x + 4$$
$$f(x) = x^3 + x^2 - x + 4$$
이제 $x=2$를 대입하여 $f(2)$를 구합니다.
$$f(2) = 2^3 + 2^2 - 2 + 4$$
$$f(2) = 8 + 4 - 2 + 4 = 14$$
답
정답은 **④ $14$** 입니다.
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 직선 $y=5$ 대신 **직선 $y=k$**가 곡선 $y=f(x)$와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 상수 $k$의 범위를 구하라고 한다면, 이 $k$의 범위는 이 함수의 극댓값, 극솟값과 어떤 관계가 있어야 할까요? (직접 범위를 구하지 말고, 개념적인 관계만 생각해보세요.)