어떤 문제인가
이 문제는 주어진 포물선의 방정식을 보고, 포물선의 가장 중요한 두 가지 요소인 초점(Focus)과 준선(Directrix) 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 포물선의 기본형 방정식: $y^2 = 4px$에서 초점의 좌표는 $(p, 0)$, 준선의 방정식은 $x = -p$입니다.
- 평행이동: 도형을 평행이동해도 도형 내부의 구성 요소(초점과 준선) 사이의 거리는 변하지 않습니다.
단계별 풀이
1단계: 평행이동하기 전, 기본형 포물선의 방정식 찾기
주어진 포물선의 방정식은 $y^2 = 12(x-2)$입니다. 이 식은 기본형 포물선인 $y^2 = 12x$를 $x$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 것입니다.
도형을 통째로 움직여도 초점과 준선 사이의 '거리' 자체는 변하지 않으므로, 우리는 먼저 계산하기 쉬운 기본형 $y^2 = 12x$를 기준으로 생각해보겠습니다.
2단계: 기본형 포물선에서 $p$의 값 구하기
포물선의 기본형 공식 $y^2 = 4px$와 우리가 가진 식 $y^2 = 12x$를 비교해봅시다.
$$4p = 12$$
양변을 $4$로 나누면, $p$의 값을 구할 수 있습니다.
$$p = 3$$
3단계: 기본형 포물선의 초점과 준선 사이의 거리 구하기
$p = 3$이므로, 기본형 포물선 $y^2 = 12x$의 초점 $F$와 준선 $l$은 다음과 같습니다.
- **초점 $F$**: $(3, 0)$
- **준선 $l$**: $x = -3$
좌표평면에서 점 $(3, 0)$과 세로선인 준선 $x = -3$ 사이의 거리를 구해봅시다.
두 요소 사이의 거리는 $x$ 좌표의 차이와 같습니다.
$$\text{거리} = 3 - (-3) = 6$$
(참고: 포물선에서 초점과 준선 사이의 거리는 항상 $2|p|$가 됩니다. 여기서는 $2 \times 3 = 6$이 됩니다.)
4단계: 평행이동 적용해서 확인하기 (검산)
실제로 평행이동을 적용해도 거리가 같은지 확인해볼까요?
$y^2 = 12(x-2)$는 원래 포물선을 $x$축 방향으로 $+2$만큼 평행이동한 것입니다.
- **이동된 초점 $F'$**: $(3+2, 0) = (5, 0)$
- **이동된 준선 $l'$**: $x = -3 + 2 \implies x = -1$
이동된 초점 $(5, 0)$과 이동된 준선 $x = -1$ 사이의 거리를 구하면:
$$\text{거리} = 5 - (-1) = 6$$
평행이동을 해도 초점과 준선 사이의 거리는 $6$으로 변하지 않는 것을 확인할 수 있습니다.
답
**① $6$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 포물선 $(y-1)^2 = -8(x+3)$의 초점과 준선 사이의 거리는 얼마일까요? (평행이동하기 전의 기본형을 먼저 생각해보세요!)