어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에 있는 한 점을 서로 다른 기준으로 대칭이동한 두 점을 구하고, 그 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$yz$평면에 대한 대칭이동**: 어떤 좌표가 어떻게 변하는지 이해하기
- 원점에 대한 대칭이동: 세 좌표의 부호가 어떻게 바뀌는지 이해하기
- 좌표공간에서 두 점 사이의 거리 공식: 피타고라스 정리를 공간으로 확장한 공식 사용하기
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{B}$의 좌표 구하기 ($yz$평면 대칭)
어떤 점을 $yz$평면에 대하여 대칭이동하면, $y$좌표와 $z$좌표는 그대로 유지되고 **$x$좌표의 부호만 반대로** 바뀝니다. 거울이 $yz$평면에 서 있다고 생각하면, $x$축 방향으로의 위치만 반대편으로 넘어가기 때문입니다.
점 $\mathrm{A}\left(3, -\frac{3}{2}, -2\right)$를 $yz$평면에 대칭이동한 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{B}\left(-3, -\frac{3}{2}, -2\right)$$
2단계: 점 $\mathrm{C}$의 좌표 구하기 (원점 대칭)
어떤 점을 원점에 대하여 대칭이동하면, **$x, y, z$ 세 좌표의 부호가 모두 반대로** 바뀝니다. 원점을 지나 정반대 방향으로 같은 거리만큼 가기 때문입니다.
점 $\mathrm{A}\left(3, -\frac{3}{2}, -2\right)$를 원점에 대칭이동한 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{C}\left(-3, \frac{3}{2}, 2\right)$$
3단계: 선분 $\mathrm{BC}$의 길이 구하기
이제 두 점 $\mathrm{B}\left(-3, -\frac{3}{2}, -2\right)$와 $\mathrm{C}\left(-3, \frac{3}{2}, 2\right)$ 사이의 거리를 구합니다.
좌표공간에서 두 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$ 사이의 거리 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{거리} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
이 공식에 두 점 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$의 좌표를 대입해 봅시다.
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{\left(-3 - (-3)\right)^2 + \left(\frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + \left(2 - (-2)\right)^2}$$
각 부분을 계산하면:
- $x$좌표의 차이: $-3 - (-3) = 0$
- $y$좌표의 차이: $\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$
- $z$좌표의 차이: $2 + 2 = 4$
따라서,
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2}$$
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
답
**⑤ $5$**
확인해보기
오늘 배운 대칭이동의 원리를 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> [질문]
> 좌표공간의 점 $\mathrm{P}(1, 2, 3)$을 $xz$평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{Q}$, 원점에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{R}$이라 할 때, 선분 $\mathrm{QR}$의 길이는 얼마일까요? (직접 공책에 풀며 확인해 보세요!)