어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선의 성질과 접선의 방정식을 활용하여 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 쌍곡선의 초점 구하기: 쌍곡선의 방정식 형태에 따라 초점이 어느 축 위에 있는지, 그리고 초점의 좌표를 어떻게 구하는지 이해해야 합니다.
- 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식: 곡선 위의 한 점이 주어졌을 때의 접선 공식을 적용합니다.
- 좌표평면 위에서 두 점 사이의 거리: 특히 이 문제에서는 점들이 모두 $y$축 위에 존재하므로, $y$좌표의 차이를 이용해 거리를 쉽게 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 쌍곡선의 초점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}'$의 좌표 구하기
주어진 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$$
우변이 $-1$이므로, 이 쌍곡선은 주축이 $y$축 위에 있는 (위아래로 열린) 쌍곡선입니다.
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$에서 초점의 좌표를 $(0, c)$, $(0, -c)$라고 할 때, 관계식 $c^2 = a^2 + b^2$이 성립합니다.
이 문제에서는 $b^2 = a^2$이므로 대입해 보면,
$$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$
$a > 0$이므로 $c = \sqrt{2}a$가 됩니다. 따라서 두 초점의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{F}(0, \sqrt{2}a), \quad \mathrm{F}'(0, -\sqrt{2}a)$$
2단계: 접선의 방정식과 점 $\mathrm{P}$의 좌표 구하기
쌍곡선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 공식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{a^2} = -1$$
문제에서 주어진 접점은 $(a, \sqrt{2}a)$이므로, 이 값을 공식에 대입해 봅시다.
$$\frac{a \cdot x}{a^2} - \frac{\sqrt{2}a \cdot y}{a^2} = -1$$
양변에서 $a$를 약분하여 정리하면 접선의 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{x}{a} - \frac{\sqrt{2}y}{a} = -1 \implies x - \sqrt{2}y = -a$$
점 $\mathrm{P}$는 이 접선이 $y$축과 만나는 점($y$절편)이므로, $x = 0$을 대입합니다.
$$0 - \sqrt{2}y = -a \implies y = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$$
따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}a\right)$$
3단계: 선분의 길이의 곱 계산하기
이제 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}'$, $\mathrm{P}$의 좌표를 모두 알았습니다. 세 점 모두 $y$축 위에 있으므로, 선분의 길이는 $y$좌표의 차이(절댓값)로 간단히 구할 수 있습니다.
- **$\overline{\mathrm{PF}}$의 길이**:
$$\overline{\mathrm{PF}} = \left| \sqrt{2}a - \frac{\sqrt{2}}{2}a \right| = \frac{\sqrt{2}}{2}a$$
- **$\overline{\mathrm{PF}'}$의 길이**:
$$\overline{\mathrm{PF}'} = \left| \frac{\sqrt{2}}{2}a - (-\sqrt{2}a) \right| = \frac{3\sqrt{2}}{2}a$$
두 길이의 곱을 구하면 다음과 같습니다.
$$\overline{\mathrm{PF}} \times \overline{\mathrm{PF}'} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right) \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}a\right) = \frac{6}{4}a^2 = \frac{3}{2}a^2$$
4단계: $a$의 값 구하기
문제에서 이 곱이 $8$이라고 주어졌습니다.
$$\frac{3}{2}a^2 = 8$$
양변에 $\frac{2}{3}$를 곱하면,
$$a^2 = \frac{16}{3}$$
$a > 0$이므로 양의 제곱근을 구하고 유리화합니다.
$$a = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$
답
정답은 ②번인 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 입니다.
확인해보기
쌍곡선의 방정식 우변의 부호는 초점의 위치를 결정하는 중요한 단서입니다.
만약 쌍곡선의 방정식이 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ (우변이 $+1$)이었다면, 이 쌍곡선의 두 초점은 어느 축 위에 존재하게 될까요?