어떤 문제인가
이 문제는 입체도형(원기둥) 안에서 평면도형의 성질과 공간에서의 위치 관계를 활용하여 원기둥의 높이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 핵심 개념들을 사용합니다.
- 정사영과 공간 도형의 투영: 3차원 공간의 점들을 하나의 평면(밑면)으로 내려놓고 생각하면 복잡한 입체 문제가 쉬운 평면 기하 문제로 바뀝니다.
- 피타고라스 정리와 삼수선의 정리: 공간에서의 높이, 평면에서의 거리, 그리고 비스듬한 선의 길이 사이의 관계를 직각삼각형을 통해 이해합니다.
- 도형의 넓이 공식: 삼각형과 사다리꼴의 넓이 공식을 이용하여 조건식을 세웁니다.
단계별 풀이
1단계: 윗면의 점들을 밑면으로 정사영(수선의 발 내리기)하기
입체적인 상황을 단순화하기 위해, 윗면 $C_2$ 위에 있는 점들을 밑면 $C_1$이 있는 평면으로 수직으로 내려봅니다.
- 점 $D$에서 밑면에 내린 수선의 발은 문제에서 $H$라고 주어졌습니다.
- 점 $C$에서 밑면에 내린 수선의 발을 $C'$이라고 합시다.
- 원기둥의 높이를 $h$라고 하면, 선분 $DH$와 $CC'$의 길이는 원기둥의 높이와 같으므로 다음과 같습니다.
$$DH = CC' = h$$
- 이때 선분 $CD$는 윗면의 현이고, 이를 밑면에 그대로 투영한 선분 $HC'$은 밑면 원 $C_1$ 위의 현이 됩니다. 따라서 그 길이는 같습니다.
$$HC' = CD = 3$$
2단계: 밑면 $C_1$에서의 위치 관계 파악하기
이제 밑면 $C_1$ 평면만 집중해서 보겠습니다.
- 원 $C_1$의 지름이 $5$인데, 선분 $AB$의 길이도 $5$이므로 $AB$는 원 $C_1$의 지름입니다.
- 문제에서 $AD = BC$라고 했습니다. 직각삼각형 $\triangle ADH$와 $\triangle BCC'$에서 피타고라스 정리를 쓰면 다음과 같습니다.
$$AH = \sqrt{AD^2 - h^2}, \quad BC' = \sqrt{BC^2 - h^2}$$
$AD = BC$이므로, 밑면에서의 두 선분의 길이도 같습니다.
$$AH = BC'$$
- 원 $C_1$에서 지름 $AB$가 있고, 원 위의 두 점 $H, C'$에 대해 $AH = BC'$이 성립하므로, 대칭성에 의해 현 $HC'$은 지름 $AB$와 평행합니다 ($HC' \parallel AB$).
- 따라서 사각형 $AB C' H$는 등변사다리꼴이 됩니다.
3단계: 평행한 두 현 $AB$와 $HC'$ 사이의 거리 구하기
원 $C_1$의 중심을 $O$라 합시다. $AB$가 지름이므로 $O$는 $AB$의 중점입니다.
- $HC' \parallel AB$이므로, 중심 $O$에서 현 $HC'$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면, $OM$의 길이는 두 평행한 선분 $AB$와 $HC'$ 사이의 거리 $d$가 됩니다.
- 원의 반지름 $R = \frac{5}{2}$이고, 현 $HC'$의 절반 길이는 $\frac{3}{2}$입니다.
- 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 적용하면 거리 $d$를 구할 수 있습니다.
$$d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{HC'}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = 2$$
- 이 거리 $d=2$는 밑면에서 삼각형 $ABH$의 높이가 됩니다.
4단계: 삼각형 $ABH$의 넓이 구하기
- 밑변의 길이 $AB = 5$이고, 높이 $d = 2$이므로 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{Area}(\triangle ABH) = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$$
5단계: 사각형 $ABCD$의 넓이와 원기둥의 높이 $h$ 구하기
- $CD \parallel HC'$이고 $HC' \parallel AB$이므로, $CD \parallel AB$입니다. 즉, 사각형 $ABCD$는 $AB$와 $CD$를 두 밑변으로 하는 사다리꼴입니다.
- 이 사다리꼴의 높이(비스듬한 높이)를 $h_{\text{trap}}$이라 합시다.
- 삼수선의 정리에 의해, 평면 상의 수평 거리 $d=2$와 수직 높이 $h$를 두 직각변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 바로 사다리꼴의 높이 $h_{\text{trap}}$이 됩니다.
$$h_{\text{trap}} = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{4 + h^2}$$
- 사다리꼴 $ABCD$의 넓이를 구합니다.
$$\text{Area}(ABCD) = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h_{\text{trap}} = \frac{1}{2} \times (5 + 3) \times \sqrt{4 + h^2} = 4\sqrt{4 + h^2}$$
- 문제의 조건에서 사각형 $ABCD$의 넓이가 삼각형 $ABH$의 넓이의 $4$배라고 했습니다.
$$4\sqrt{4 + h^2} = 4 \times 5$$
$$\sqrt{4 + h^2} = 5$$
$$4 + h^2 = 25$$
$$h^2 = 21$$
$$h = \sqrt{21} \quad (\because h > 0)$$
답
④ $\sqrt{21}$
확인해보기
공간도형에서 '수평 거리', '수직 높이', '비스듬한 사선의 길이' 사이의 관계를 잘 이해했는지 확인해봅시다.
질문: 만약 원기둥의 높이 $h$가 $4$이고, 밑면에서 두 평행한 현 사이의 수평 거리 $d$가 $3$이라면, 이 두 현을 윗변과 아랫변으로 하는 비스듬한 사다리꼴의 높이는 얼마가 될까요? (피타고라스 정리를 생각해보세요!)