안녕하세요! 공간도형과 정사영에 관한 흥미로운 기하 문제를 함께 풀어봅시다. 이 문제는 복잡해 보이지만, 공간좌표를 도입하여 도형을 단순화하고 단계별로 접근하면 아주 명쾌하게 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 차근차근 풀어볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 사면체 내부의 구와 조건을 만족하는 점들이 이루는 도형(원)을 찾고, 그 도형을 특정 평면 위로 정사영한 넓이를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 공간좌표 설정: 복잡한 공간도형의 위치 관계를 수식으로 쉽게 계산하기 위해 적절한 원점을 정하고 좌표를 부여합니다.
- 구와 평면의 접할 조건: 구가 평면에 접할 때, 구의 중심에서 평면까지의 거리는 구의 반지름과 같습니다.
- 삼각비와 피타고라스 정리: 조건 $\angle\text{APG} = \frac{\pi}{2}$를 만족하는 점 $\text{P}$가 그리는 도형의 성질을 밝혀냅니다.
- 이면각과 정사영: 두 평면이 이루는 각의 크기($\theta$)를 이용해 정사영의 넓이($S' = S \cos\theta$)를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 공간좌표계 도입하기
도형의 대칭성을 활용하기 위해 좌표계를 설정해 봅시다.
삼각형 $\text{BCD}$는 $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{BD}} = 2\sqrt{5}$인 이등변삼각형입니다. 변 $\text{CD}$의 중점을 $M$이라 하면, $\overline{\text{BM}} \perp \overline{\text{CD}}$가 성립합니다.
$\overline{\text{CD}} = 4$이므로 $\overline{\text{CM}} = 2$입니다. 직각삼각형 $\text{BMC}$에서 피타고라스 정리를 쓰면,
$$\overline{\text{BM}} = \sqrt{\overline{\text{BC}}^2 - \overline{\text{CM}}^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = 4$$
이제 점 $M$을 원점 $(0, 0, 0)$으로 잡고 좌표축을 다음과 같이 정합니다:
- 직선 $\text{CD}$를 $x$축 (점 $\text{C}$ 방향이 양의 방향)
- 직선 $\text{MB}$를 $y$축 (점 $\text{B}$ 방향이 양의 방향)
- 평면 $\text{BCD}$에 수직인 방향을 $z$축
그러면 각 점의 좌표는 다음과 같습니다:
- $\text{C}(2, 0, 0)$, $\text{D}(-2, 0, 0)$
- $\text{B}(0, 4, 0)$
이제 점 $\text{A}$의 좌표를 구해야 합니다. 점 $\text{A}$에서 $\text{CD}$에 내린 수선의 발이 $\text{H}$이므로, $\text{H}$는 $x$축 위의 점입니다. 즉, $\text{H}(x_0, 0, 0)$입니다.
두 평면 $\text{ABH}$와 $\text{BCD}$가 서로 수직이므로, 평면 $\text{ABH}$는 $xy$평면에 수직인 평면(즉, $z$축에 평행한 평면)입니다. 따라서 점 $\text{A}$의 $x, y$ 좌표는 평면 $\text{ABH}$ 상의 직선 $\text{BH}$ 위에 투영되어야 합니다.
조건을 만족하는 가장 단순하고 대칭적인 상황을 고려하면, 수선의 발 $\text{H}$가 원점 $M$과 일치할 때($\text{H}(0,0,0)$)입니다. 실제로 이 가정이 맞는지 확인해 봅시다.
$\text{H}(0,0,0)$이라 하면, $\text{A}$의 좌표를 $(0, y_A, z_A)$로 둘 수 있습니다.
- $\overline{\text{AH}} = 4 \implies y_A^2 + z_A^2 = 16$
- $\overline{\text{AB}} = 4 \implies 0^2 + (y_A - 4)^2 + z_A^2 = 16 \implies y_A^2 - 8y_A + 16 + z_A^2 = 16$
두 식을 연립하면:
$$(y_A^2 + z_A^2) - 8y_A + 16 = 16 \implies 16 - 8y_A + 16 = 16 \implies y_A = 2$$
$y_A = 2$를 대입하면 $z_A^2 = 12 \implies z_A = 2\sqrt{3}$ (양수라 가정)이 됩니다.
따라서 각 점의 좌표는 다음과 같이 완벽하게 결정됩니다:
- $\text{H}(0, 0, 0)$
- $\text{A}(0, 2, 2\sqrt{3})$
- $\text{B}(0, 4, 0)$
2단계: 무게중심 $\text{G}$와 구 $S$의 반지름 구하기
삼각형 $\text{ABH}$의 세 꼭짓점의 좌표는 $\text{A}(0, 2, 2\sqrt{3})$, $\text{B}(0, 4, 0)$, $\text{H}(0, 0, 0)$입니다.
따라서 무게중심 $\text{G}$의 좌표는 다음과 같습니다:
$$\text{G} = \left( \frac{0+0+0}{3}, \frac{2+4+0}{3}, \frac{2\sqrt{3}+0+0}{3} \right) = \left( 0, 2, \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$$
이제 평면 $\text{ACD}$의 방정식을 구해봅시다.
평면 $\text{ACD}$는 $x$축(선분 $\text{CD}$)을 포함하고 점 $\text{A}(0, 2, 2\sqrt{3})$을 지나므로, 평면의 방정식은 $ay + bz = 0$ 꼴입니다.
점 $\text{A}$의 좌표를 대입하면:
$$2a + 2\sqrt{3}b = 0 \implies a = -\sqrt{3}b$$
따라서 평면 $\text{ACD}$의 방정식은 다음과 같습니다:
$$\sqrt{3}y - z = 0$$
구 $S$는 중심이 $\text{G}$이고 평면 $\text{ACD}$에 접하므로, 구의 반지름 $r$은 점 $\text{G}$에서 평면 $\sqrt{3}y - z = 0$까지의 거리와 같습니다:
$$r = \frac{\left| \sqrt{3}(2) - \frac{2\sqrt{3}}{3} \right|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
3단계: 도형 $T$의 정체 밝히기
도형 $T$는 구 $S$ 위의 점 $\text{P}$ 중에서 $\angle\text{APG} = \frac{\pi}{2}$ (즉, $90^\circ$)를 만족하는 점들의 집합입니다.
직각삼각형 $\text{APG}$에서 피타고라스 정리를 적용해 봅시다.
- 구의 반지름 $\overline{\text{GP}} = r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- 선분 $\text{AG}$의 길이는 두 점 $\text{A}(0, 2, 2\sqrt{3})$와 $\text{G}(0, 2, \frac{2\sqrt{3}}{3})$ 사이의 거리이므로:
$$\overline{\text{AG}} = 2\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$
따라서 선분 $\text{AP}$의 길이는 항상 일정합니다:
$$\overline{\text{AP}} = \sqrt{\overline{\text{AG}}^2 - \overline{\text{GP}}^2} = \sqrt{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{9} - \frac{12}{9}} = \sqrt{4} = 2$$
점 $\text{P}$는 중심이 $\text{G}$인 구 $S$ 위에 있으면서 동시에 점 $\text{A}$로부터의 거리가 $2$로 일정한 점들입니다. 즉, 두 구의 교선이 되므로 **도형 $T$는 원**입니다.
이 원 $T$의 반지름을 $R$이라 하면, 직각삼각형 $\text{APG}$에서 넓이 관계를 이용하여 $R$을 구할 수 있습니다:
$$\overline{\text{AP}} \times \overline{\text{GP}} = \overline{\text{AG}} \times R$$
$$2 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \times R \implies R = 1$$
따라서 도형 $T$는 **반지름이 $1$인 원**이며, 그 넓이는 $S_T = \pi R^2 = \pi$입니다.
또한, 이 원 $T$가 놓인 평면은 선분 $\text{AG}$에 수직입니다. 점 $\text{A}$와 $\text{G}$의 $x, y$ 좌표가 같으므로 선분 $\text{AG}$는 $z$축과 평행합니다. 즉, **원 $T$가 놓인 평면은 $xy$평면(평면 $\text{BCD}$)과 평행**합니다!
4단계: 평면 $\text{ABC}$ 위로의 정사영 구하기
원 $T$가 놓인 평면은 $xy$평면과 평행하므로, 원 $T$를 평면 $\text{ABC}$ 위로 정사영한 넓이를 구하려면 **$xy$평면과 평면 $\text{ABC}$가 이루는 이면각 $\theta$**를 구하면 됩니다.
- $xy$평면의 법선벡터: $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$
- 평면 $\text{ABC}$의 법선벡터 $\vec{n}_2$를 구하기 위해 세 점 $\text{A}(0,2,2\sqrt{3})$, $\text{B}(0,4,0)$, $\text{C}(2,0,0)$를 이용합니다.
- $\vec{\text{BA}} = (0, -2, 2\sqrt{3})$
- $\vec{\text{BC}} = (2, -4, 0)$
두 벡터에 동시에 수직인 법선벡터 $\vec{n}_2 = (x, y, z)$를 구하면:
$$\vec{n}_2 \cdot \vec{\text{BC}} = 2x - 4y = 0 \implies x = 2y$$
$$\vec{n}_2 \cdot \vec{\text{BA}} = -2y + 2\sqrt{3}z = 0 \implies z = \frac{y}{\sqrt{3}}$$
$y = \sqrt{3}$이라 두면, $\vec{n}_2 = (2\sqrt{3}, \sqrt{3}, 1)$이 됩니다.
두 평면이 이루는 각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$는 다음과 같습니다:
$$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{|1|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{12 + 3 + 1}} = \frac{1}{4}$$
따라서 도형 $T$의 평면 $\text{ABC}$ 위로의 정사영의 넓이는:
$$\text{넓이} = S_T \times \cos\theta = \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}$$
답
정답은 **④ $\frac{\pi}{4}$** 입니다.
확인해보기
질문: 3단계에서 점 $\text{P}$가 그리는 도형 $T$가 놓인 평면이 선분 $\text{AG}$에 수직인 이유는 무엇일까요? 공간에서 두 구가 만날 때 생기는 교선의 성질과 연관 지어 생각해 보세요.