안녕! 오늘도 수학 실력을 한 단계 더 높이기 위해 도전하는 모습이 아주 멋져요.
이 문제는 포물선과 타원이라는 두 가지 이차곡선의 성질을 아주 아름답게 융합한 문제입니다. 복잡해 보이지만, 이차곡선의 가장 기본이 되는 '정의'와 '대칭성'을 이용하면 실타래가 풀리듯 차근차근 해결할 수 있어요. 선생님과 함께 한 단계씩 정복해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 포물선과 타원의 정의, 그리고 도형의 대칭성을 이용해 미지수를 구하는 문제입니다. 우리가 집중해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의: 포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같습니다.
- 타원의 정의와 대칭성: 타원 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이($2a$)로 일정하며, 타원은 두 초점을 잇는 선분(주축)과 그 수직이등분선에 대해 대칭입니다.
- 삼각형의 넓이와 좌표: 좌표평면 위에서 삼각형의 밑변과 높이를 설정해 넓이 공식을 적용합니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 정의로 선분 $AH$의 길이 표현하기
포물선의 초점은 $\mathrm{F}(p, 0)$이고 준선은 $x = -p$입니다.
제1사분면에 있는 포물선 위의 점을 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$ ($x_1 > 0, y_1 > 0$)이라 합시다.
점 $\mathrm{A}$에서 준선 $x = -p$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{H}$이므로, 점 $\mathrm{H}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{H}(-p, y_1)$$
이때 선분 $\mathrm{AH}$의 길이는 두 점의 $x$좌표의 차이와 같으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\mathrm{AH} = x_1 - (-p) = x_1 + p$$
포물선의 정의에 의해, 포물선 위의 점 $\mathrm{A}$에서 준선까지의 거리($\mathrm{AH}$)는 초점까지의 거리($\mathrm{AF}$)와 같습니다. 즉,
$$\mathrm{AF} = \mathrm{AH} = x_1 + p$$
2단계: 타원의 대칭성을 이용해 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레 해석하고 $p$ 구하기
타원의 두 초점이 $x$축 위에 있으므로, 이 타원은 $x$축에 대해 대칭입니다. 또한 타원의 중심을 지나고 $x$축에 수직인 직선에 대해서도 대칭입니다.
점 $\mathrm{H}(-p, y_1)$과 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$은 $y$좌표가 같으므로, 선분 $\mathrm{HA}$는 $x$축과 평행합니다. 타원이 이 두 점을 모두 지나므로, 타원의 세로 대칭축(중심을 지나는 세로선)은 선분 $\mathrm{HA}$의 중점을 지나야 합니다.
따라서 타원의 중심의 $x$좌표 $x_0$는 다음과 같습니다.
$$x_0 = \frac{-p + x_1}{2}$$
타원의 두 초점 중 하나는 $\mathrm{B}$이고, 다른 하나를 $\mathrm{F_1}$이라 합시다. 이 두 초점 역시 타원의 중심 $x_0$에 대해 대칭입니다.
도형의 대칭성에 의해 다음이 성립합니다.
$$\mathrm{HB} = \mathrm{F_1A}$$
타원의 정의에 의해, 타원 위의 점 $\mathrm{A}$에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이 $2a$와 같습니다.
$$\mathrm{F_1A} + \mathrm{AB} = 2a$$
여기에 앞서 구한 대칭성($\mathrm{F_1A} = \mathrm{HB}$)을 대입하면 아주 놀라운 식을 얻을 수 있습니다!
$$\mathrm{HB} + \mathrm{AB} = 2a$$
한편, 문제에서 점 $\mathrm{F}(p, 0)$은 타원 위의 점이라고 했습니다. 점 $\mathrm{F}$는 $x$축(타원의 장축) 위에 있으므로, 타원의 오른쪽 꼭짓점이 바로 $\mathrm{F}(p, 0)$이 됩니다.
따라서 타원의 중심 $x_0$에서 꼭짓점 $\mathrm{F}$까지의 거리가 바로 장축의 절반인 $a$가 됩니다.
$$a = p - x_0 = p - \frac{x_1 - p}{2} = \frac{3p - x_1}{2}$$
이 식의 양변에 $2$를 곱하면 장축의 길이를 구할 수 있습니다.
$$2a = 3p - x_1$$
이제 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레의 길이를 구해봅시다.
$$\text{둘레의 길이} = \mathrm{AH} + \mathrm{HB} + \mathrm{AB}$$
여기에 우리가 구한 값들을 대입해 볼까요?
$$\text{둘레의 길이} = (x_1 + p) + 2a = (x_1 + p) + (3p - x_1) = 4p$$
문제에서 둘레의 길이가 $p + 27$이라고 주어졌으므로,
$$4p = p + 27$$
$$3p = 27 \quad \implies \quad p = 9$$
우리는 아주 간단하게 포물선의 상수 $p = 9$를 찾아냈습니다!
3단계: 삼각형의 넓이를 이용해 점 $\mathrm{A}$의 좌표 구하기
$p = 9$이므로, 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{넓이} = 2p + 12 = 2(9) + 12 = 30$$
삼각형 $\mathrm{AHB}$에서 밑변을 $\mathrm{AH}$로 잡으면, 높이는 점 $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{AH}$까지의 수직 거리입니다.
- 밑변의 길이: $\mathrm{AH} = x_1 + p = x_1 + 9$
- 높이: 점 $\mathrm{B}$는 $x$축 위에 있으므로 $y$좌표가 $0$입니다. 직선 $\mathrm{AH}$의 방정식은 $y = y_1$이므로 높이는 $y_1$입니다.
따라서 삼각형의 넓이 공식에 의해,
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times (x_1 + 9) \times y_1 = 30 \quad \implies \quad (x_1 + 9)y_1 = 60$$
점 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$은 포물선 $y^2 = 4px = 36x$ 위의 점이므로, $y_1 = 6\sqrt{x_1}$입니다. 이를 위 식에 대입해 봅시다.
$$(x_1 + 9) \cdot 6\sqrt{x_1} = 60 \quad \implies \quad (x_1 + 9)\sqrt{x_1} = 10$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\sqrt{x_1} = t$ ($t > 0$)로 치환하면,
$$(t^2 + 9)t = 10 \quad \implies \quad t^3 + 9t - 10 = 0$$
이 삼차방정식은 $t = 1$을 대입하면 성립합니다. 인수분해를 해보면,
$$(t - 1)(t^2 + t + 10) = 0$$
$t^2 + t + 10 = 0$은 실근을 갖지 않으므로, 유일한 실근은 $t = 1$입니다.
따라서,
$$\sqrt{x_1} = 1 \quad \implies \quad x_1 = 1$$
$$y_1 = 6\sqrt{1} = 6$$
즉, 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $(1, 6)$이고, 점 $\mathrm{H}$의 좌표는 $(-9, 6)$입니다.
4단계: 선분 $\mathrm{HF}$의 길이 $k$와 $k^2$ 구하기
이제 마지막 단계입니다! 점 $\mathrm{H}(-9, 6)$과 포물선의 초점 $\mathrm{F}(9, 0)$ 사이의 거리 $k$를 구해봅시다.
두 점 사이의 거리 공식에 의해,
$$k^2 = \mathrm{HF}^2 = (9 - (-9))^2 + (0 - 6)^2$$
$$k^2 = 18^2 + (-6)^2$$
$$k^2 = 324 + 36 = 360$$
답
$$360$$
확인해보기
공부를 마친 후 스스로 점검해보는 시간입니다. 아래 질문에 대해 스스로 답을 생각해보세요.
질문: 이 문제의 2단계에서 타원의 대칭성을 이용하여 $\mathrm{HB} = \mathrm{F_1A}$임을 보였습니다. 그렇다면 만약 타원의 두 초점이 $x$축이 아니라 $y$축 위에 있었다면 이 대칭성을 그대로 사용할 수 있었을까요? 그 이유는 무엇일까요?