어떤 문제인가
이 문제는 서로 다른 4개의 문자 $a, b, c, d$ 중에서 중복을 허락하여 3개를 선택한 뒤, 이를 순서를 고려하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 중복 허용: 한 번 사용한 문자를 다음 자리에 또 사용할 수 있습니다. (예: $aaa$, $abc$, $bba$ 모두 가능)
- 일렬로 나열 (순열): 나열하는 순서가 다르면 서로 다른 경우로 생각합니다. (예: $abc$와 $bac$는 다른 경우)
- 곱의 법칙: 여러 단계가 연속해서 일어날 때, 각 단계의 경우의 수를 모두 곱하여 전체 경우의 수를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 자리를 만들고 생각하기
우리가 구하고자 하는 것은 3자리의 문자열을 만드는 것입니다. 세 개의 빈자리를 상상해 봅시다.
$$\text{[ 첫 번째 자리 ]} \quad \text{[ 두 번째 자리 ]} \quad \text{[ 세 번째 자리 ]}$$
이제 각 자리에 문자를 하나씩 채워 넣을 것입니다.
2단계: 각 자리에 올 수 있는 문자의 개수 구하기
- 첫 번째 자리: 사용할 수 있는 문자는 $a, b, c, d$ 총 4가지입니다. 따라서 첫 번째 자리에 올 수 있는 경우의 수는 **$4$가지**입니다.
- 두 번째 자리: 문제에서 중복을 허락한다고 했습니다. 즉, 첫 번째 자리에 쓴 문자를 또 써도 괜찮습니다. 따라서 두 번째 자리에 올 수 있는 문자의 개수도 여전히 $a, b, c, d$ 총 **$4$가지**입니다.
- 세 번째 자리: 마찬가지로 중복이 가능하므로, 세 번째 자리에 올 수 있는 문자의 개수도 $a, b, c, d$ 총 **$4$가지**입니다.
3단계: 곱의 법칙으로 계산하기
첫 번째 자리를 채우고, 이어서 두 번째 자리를 채우고, 이어서 세 번째 자리를 채우는 사건은 연속해서 일어나므로 곱의 법칙을 적용해야 합니다.
따라서 구하고자 하는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 4 \times 4 \times 4 = 4^3$$
이를 계산하면,
$$4^3 = 64$$
가 됩니다. 이처럼 서로 다른 $n$개 중에서 중복을 허락하여 $r$개를 택해 일렬로 나열하는 것을 중복순열이라 하며, 기호로는 $_n\Pi_r = n^r$로 나타냅니다. 이 문제에서는 $_4\Pi_3 = 4^3 = 64$가 됩니다.
답
**③ $64$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 사용할 수 있는 문자가 $a, b, c, d, e$의 5개이고, 이 중에서 중복을 허락하여 2개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지가 될까요? 식을 세우고 답을 고민해 보세요!