어떤 문제인가
이 문제는 두 사건 $A$와 $B$가 주어졌을 때, 조건부확률과 확률의 덧셈정리를 활용하여 특정 사건의 확률 $P(B)$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 조건부확률의 정의: 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 확률 $P(B|A)$는 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 입니다.
- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A, B$에 대하여 합사건의 확률은 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 입니다.
이 두 공식을 연결고리 삼아 차근차근 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: 조건부확률 공식을 이용해 교사건의 확률 $P(A \cap B)$ 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $P(B)$입니다. 하지만 확률의 덧셈정리 공식($P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$)을 쓰려고 하니, $P(A \cap B)$의 값을 아직 모르고 있네요.
이 값을 구하기 위해 문제에서 주어진 조건부확률 $P(B|A) = \frac{1}{4}$을 이용해 봅시다.
조건부확률의 정의에 의해 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
이 식의 양변에 $P(A)$를 곱하면, 두 사건이 동시에 일어날 확률 $P(A \cap B)$를 구하는 식으로 변형됩니다.
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$
이제 문제에서 알려준 값들을 대입해 볼까요?
$$P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$$
두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률은 $\frac{1}{10}$이군요!
2단계: 확률의 덧셈정리를 이용해 $P(B)$ 계산하기
이제 필요한 모든 재료가 준비되었습니다. 확률의 덧셈정리 공식을 써봅시다.
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
여기에 우리가 알고 있는 값들을 대입합니다.
- $P(A \cup B) = 1$
- $P(A) = \frac{2}{5}$
- $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$
대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$1 = \frac{2}{5} + P(B) - \frac{1}{10}$$
계산을 편하게 하기 위해 분모를 $10$으로 통분해 볼까요? $\frac{2}{5}$는 $\frac{4}{10}$와 같습니다.
$$1 = \frac{4}{10} + P(B) - \frac{1}{10}$$
$$1 = \frac{3}{10} + P(B)$$
우리가 구하고자 하는 $P(B)$만 남기고 이항하면 다음과 같습니다.
$$P(B) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$$
아주 깔끔하게 답이 나왔네요!
답
**① $\frac{7}{10}$**
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 만약 이 문제에서 다른 조건은 모두 같고, 합사건의 확률만 $P(A \cup B) = \frac{9}{10}$로 바뀐다면, 사건 $B$가 일어날 확률 $P(B)$는 얼마가 될까요? 위에서 배운 단계를 따라서 직접 계산해 보세요!