어떤 문제인가
이 문제는 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낼 때, 특정 조건(두 공의 색이 같거나, 두 공에 적힌 수가 같은 조건)을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **조합($_n\mathrm{C}_r$)**: 서로 다른 $n$개 중에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수입니다.
- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A, B$에 대하여 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 입니다.
- 배반사건: 두 사건이 동시에 일어날 수 없을 때($P(A \cap B) = 0$), 두 사건을 배반사건이라고 합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저 주머니에 있는 전체 공의 개수를 확인하고, 이 중 2개를 동시에 꺼내는 모든 경우의 수를 구해봅시다.
- 흰 공 5개, 검은 공 5개로 주머니에는 총 10개의 공이 들어 있습니다.
- 10개의 공 중에서 임의로 2개를 꺼내는 경우의 수는 조합($_n\mathrm{C}_r$)을 사용해 구합니다.
$$_{10}\mathrm{C}_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$
따라서 전체 경우의 수는 **$45$가지**입니다.
2단계: 꺼낸 2개의 공이 '서로 같은 색'일 확률 구하기 (사건 $A$)
두 공이 서로 같은 색인 경우는 두 가지로 나눌 수 있습니다.
- case 1) 둘 다 흰 공인 경우
흰 공 5개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수입니다.
$$_5\mathrm{C}_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$
- case 2) 둘 다 검은 공인 경우
검은 공 5개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수입니다.
$$_5\mathrm{C}_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$
따라서 두 공이 서로 같은 색인 경우의 수는 $10 + 10 = 20$가지입니다.
이 사건을 $A$라고 하면, 확률 $P(A)$는 다음과 같습니다.
$$P(A) = \frac{20}{45}$$
3단계: 꺼낸 2개의 공에 '적힌 수가 서로 같을' 확률 구하기 (사건 $B$)
이번에는 두 공에 적힌 숫자가 같은 경우를 찾아봅시다.
- 흰 공의 숫자: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$
- 검은 공의 숫자: $\{2, 3, 4, 5, 6\}$
두 공의 숫자가 같으려면, 흰 공과 검은 공에 공통으로 들어 있는 숫자가 나와야 합니다. 공통인 숫자는 **$2, 3, 4, 5$**입니다.
따라서 숫자가 같은 경우는 다음의 4가지 쌍뿐입니다.
- (흰 공 2, 검은 공 2)
- (흰 공 3, 검은 공 3)
- (흰 공 4, 검은 공 4)
- (흰 공 5, 검은 공 5)
즉, 숫자가 같은 경우의 수는 **$4$가지**입니다.
이 사건을 $B$라고 하면, 확률 $P(B)$는 다음과 같습니다.
$$P(B) = \frac{4}{45}$$
4단계: 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지 확인하기 (교사건 $A \cap B$)
"꺼낸 2개의 공이 색도 같으면서 숫자도 같은 경우"가 있을까요?
- 흰 공들끼리는 숫자가 모두 다릅니다 ($1, 2, 3, 4, 5$).
- 검은 공들끼리도 숫자가 모두 다릅니다 ($2, 3, 4, 5, 6$).
따라서 같은 색의 공 2개를 뽑았을 때 숫자가 같을 수는 없습니다. 즉, 두 사건 $A$와 $B$는 동시에 일어날 수 없는 배반사건입니다.
$$P(A \cap B) = 0$$
5단계: 최종 확률 계산하기
확률의 덧셈정리에 의해 구하고자 하는 확률 $P(A \cup B)$는 다음과 같습니다.
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
$$P(A \cup B) = \frac{20}{45} + \frac{4}{45} - 0 = \frac{24}{45}$$
기약분수로 나타내기 위해 분모와 분자를 $3$으로 나누어 줍니다.
$$\frac{24}{45} = \frac{8}{15}$$
답
**② $\frac{8}{15}$**
확인해보기
만약 검은 공에 적힌 숫자가 흰 공과 완전히 똑같이 $1, 2, 3, 4, 5$였다면, "꺼낸 2개의 공에 적힌 수가 서로 같을 확률"은 어떻게 변할지 생각해 보세요.