어떤 문제인가
이 문제는 표본을 통해 모집단의 평균(모평균 $m$)을 추측하는 '모평균의 신뢰구간'에 관한 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 모평균의 신뢰구간 공식: 표본평균 $\bar{x}$, 표본의 크기 $n$, 모표준편차 $\sigma$, 신뢰도에 따른 상수 $k$를 이용해 신뢰구간을 구하는 방법을 압니다.
- 신뢰구간의 길이: 신뢰구간의 양 끝값 사이의 거리가 어떻게 결정되는지 이해합니다.
단계별 풀이
1단계: 신뢰구간 공식 세우기
모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간 공식은 다음과 같습니다.
$$\bar{x} - k \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
문제에서 주어진 조건들을 공식에 대입하기 위해 하나씩 정리해 봅시다.
- 모표준편차 $\sigma = 5$
- 표본의 크기 $n = 36$ (따라서 $\sqrt{n} = \sqrt{36} = 6$)
- 신뢰도 $99\%$일 때의 상수 $k = 2.58$ (문제에서 $\mathrm{P}(|Z| \le 2.58) = 0.99$라고 주어졌기 때문입니다.)
2단계: 오차의 한계(신뢰구간의 절반 길이) 계산하기
공식에서 표본평균 $\bar{x}$를 기준으로 더하고 빼는 값인 $k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$을 먼저 계산해 봅시다. 이 값을 '오차의 한계'라고 부르기도 합니다.
$$k \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.58 \times \frac{5}{6}$$
계산을 편하게 하기 위해 $2.58$을 $6$으로 먼저 나누어 볼까요?
$$2.58 \div 6 = 0.43$$
여기에 $5$를 곱합니다.
$$0.43 \times 5 = 2.15$$
따라서 신뢰구간은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\bar{x} - 2.15 \le m \le \bar{x} + 2.15$$
3단계: 표본평균 $\bar{x}$ 구하기
문제에서 이 신뢰구간이 $1.2 \le m \le a$라고 했습니다.
즉, 신뢰구간의 아랫값(하한선)이 $1.2$라는 뜻입니다.
$$\bar{x} - 2.15 = 1.2$$
이 식을 정리하여 표본평균 $\bar{x}$를 구합니다.
$$\bar{x} = 1.2 + 2.15 = 3.35$$
4단계: $a$의 값 구하기
이제 신뢰구간의 윗값(상한선)인 $a$를 구할 차례입니다. $a$는 $\bar{x} + 2.15$와 같습니다.
$$a = \bar{x} + 2.15$$
$$a = 3.35 + 2.15 = 5.5$$
*(참고: 표본평균 $\bar{x}$를 구하지 않고, 신뢰구간의 전체 길이 $a - 1.2 = 2 \times 2.15 = 4.3$임을 이용하여 $a = 1.2 + 4.3 = 5.5$로 바로 구할 수도 있습니다!)*
답
**⑤ $5.5$**
확인해보기
만약 다른 모든 조건(표본의 크기, 표본평균, 표준편차)은 그대로 유지하고, **신뢰도만 $99\%$에서 $95\%$로 낮춘다면** 신뢰구간의 길이는 처음보다 늘어날까요, 아니면 줄어들까요? 그 이유는 무엇일까요?