어떤 문제인가
이 문제는 이산확률변수의 확률분포를 이해하고, 이를 이용해 평균과 분산을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 아래의 3가지 핵심 개념을 사용합니다.
- **확률의 총합은 $1$이다**: 확률분포에서 모든 가능한 $x$에 대한 확률의 합은 항상 $1$이 되어야 합니다. 이 성질로 미지수 $a$를 구합니다.
- 이산확률변수의 분산 공식: 분산 $\mathrm{V}(X)$는 '제곱의 평균'에서 '평균의 제곱'을 빼서 구합니다.
$$\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$$
- 분산의 성질: 확률변수에 상수를 곱했을 때, 분산은 그 상수의 제곱 배가 됩니다.
$$\mathrm{V}(kX) = k^2 \mathrm{V}(X)$$
단계별 풀이
1단계: 미지수 $a$의 값 구하기
확률변수 $X$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, 3, 4$입니다. 모든 확률의 합은 $1$이므로 다음 식을 만족해야 합니다.
$$\mathrm{P}(X=0) + \mathrm{P}(X=1) + \mathrm{P}(X=2) + \mathrm{P}(X=3) + \mathrm{P}(X=4) = 1$$
주어진 확률분포에 $x = 0, 1, 2, 3$을 대입하여 각각의 확률을 구해봅시다.
- $x=0$ 일 때: $\mathrm{P}(X=0) = \frac{|2(0)-1|}{12} = \frac{1}{12}$
- $x=1$ 일 때: $\mathrm{P}(X=1) = \frac{|2(1)-1|}{12} = \frac{1}{12}$
- $x=2$ 일 때: $\mathrm{P}(X=2) = \frac{|2(2)-1|}{12} = \frac{3}{12}$
- $x=3$ 일 때: $\mathrm{P}(X=3) = \frac{|2(3)-1|}{12} = \frac{5}{12}$
- $x=4$ 일 때: $\mathrm{P}(X=4) = a$
이 값들을 모두 더해봅시다.
$$\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} + a = 1$$
$$\frac{10}{12} + a = 1$$
$$\frac{5}{6} + a = 1 \implies a = \frac{1}{6}$$
따라서 $a = \frac{1}{6}$ (또는 계산의 편의를 위해 $\frac{2}{12}$로 둘 수 있습니다)입니다.
2단계: 구하고자 하는 식 정리하기
우리가 구해야 하는 값은 $\mathrm{V}\left(\frac{1}{a}X\right)$입니다.
$a = \frac{1}{6}$이므로, $\frac{1}{a} = 6$이 됩니다.
따라서 구하고자 하는 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\mathrm{V}\left(\frac{1}{a}X\right) = \mathrm{V}(6X)$$
분산의 성질 $\mathrm{V}(kX) = k^2 \mathrm{V}(X)$를 적용하면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{V}(6X) = 6^2 \mathrm{V}(X) = 36 \mathrm{V}(X)$$
이제 우리는 $\mathrm{V}(X)$의 값만 구하면 됩니다!
3단계: 평균 $\mathrm{E}(X)$와 제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$ 구하기
분산 $\mathrm{V}(X)$를 구하기 위해 먼저 평균 $\mathrm{E}(X)$와 제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$를 계산해 봅시다. 계산을 쉽게 하기 위해 모든 확률의 분모를 $12$로 통일하겠습니다. ($a = \frac{2}{12}$)
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | 합계 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{P}(X=x)$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{3}{12}$ | $\frac{5}{12}$ | $\frac{2}{12}$ | $1$ |
(1) 평균 $\mathrm{E}(X)$ 계산
$$\mathrm{E}(X) = \sum x \cdot \mathrm{P}(X=x)$$
$$\mathrm{E}(X) = \left(0 \cdot \frac{1}{12}\right) + \left(1 \cdot \frac{1}{12}\right) + \left(2 \cdot \frac{3}{12}\right) + \left(3 \cdot \frac{5}{12}\right) + \left(4 \cdot \frac{2}{12}\right)$$
$$\mathrm{E}(X) = \frac{0 + 1 + 6 + 15 + 8}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$$
(2) 제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$ 계산
$$\mathrm{E}(X^2) = \sum x^2 \cdot \mathrm{P}(X=x)$$
$$\mathrm{E}(X^2) = \left(0^2 \cdot \frac{1}{12}\right) + \left(1^2 \cdot \frac{1}{12}\right) + \left(2^2 \cdot \frac{3}{12}\right) + \left(3^2 \cdot \frac{5}{12}\right) + \left(4^2 \cdot \frac{2}{12}\right)$$
$$\mathrm{E}(X^2) = \frac{0 + 1 + 12 + 45 + 32}{12} = \frac{90}{12} = \frac{15}{2}$$
4단계: 분산 $\mathrm{V}(X)$ 및 최종 답 구하기
이제 분산 공식에 대입합니다.
$$\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$$
$$\mathrm{V}(X) = \frac{15}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{15}{2} - \frac{25}{4}$$
통분하여 계산하면,
$$\mathrm{V}(X) = \frac{30}{4} - \frac{25}{4} = \frac{5}{4}$$
최종적으로 우리가 구하려는 값은 $36 \mathrm{V}(X)$이므로,
$$\mathrm{V}(6X) = 36 \cdot \frac{5}{4} = 9 \cdot 5 = 45$$
답
**④ $45$**
확인해보기
확률변수 $Y$에 대하여 평균이 $\mathrm{E}(Y) = 3$, 분산이 $\mathrm{V}(Y) = 2$일 때, 새로운 확률변수 $W = -3Y + 4$의 분산 $\mathrm{V}(W)$의 값은 얼마일까요? (힌트: 분산의 성질 중 상수를 더하거나 뺐을 때 분산이 어떻게 변하는지 생각해보세요!)