어떤 문제인가
주사위를 4번 던지는 시행에서, 넣은 공의 총 개수가 홀수라는 사건($A$)이 일어났을 때 상자 3의 공이 상자 2의 공보다 1개 많을 사건($B$)의 조건부확률 $P(B\mid A)$를 구하는 문제예요. 핵심은 주사위 한 번의 결과를 상자 2·상자 3의 증가량과 넣는 공의 개수(총합의 홀짝)로 분류하는 거예요. 이렇게 정리하면 4번의 시행은 네 가지 유형의 독립 반복이 돼요.
| 눈 | 확률 | 공을 넣는 상자 | 추가 공 수 | 상자2 | 상자3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 홀수(1,3,5) | $\frac{1}{2}$ | 1, 3, 5 | 3 (홀) | 0 | +1 |
| 2 | $\frac{1}{6}$ | 1, 2 | 2 (짝) | +1 | 0 |
| 4 | $\frac{1}{6}$ | 1, 2, 4 | 3 (홀) | +1 | 0 |
| 6 | $\frac{1}{6}$ | 1, 2, 3, 6 | 4 (짝) | +1 | +1 |
사용할 개념은 독립시행의 확률과 조건부확률이에요.
단계별 풀이
- 먼저 기호를 정해요. 4번의 시행에서 홀수 눈, 눈 2, 눈 4, 눈 6이 나온 횟수를 각각 $a,b,c,d$라 하면 $a+b+c+d=4$예요.
- 총합의 홀짝(사건 $A$)을 식으로 나타내요. 총 공의 개수는 $3a+2b+3c+4d$이므로, 이 값이 홀수일 조건은 $a+c$가 홀수인 것이에요.
- 상자 조건(사건 $B$)을 식으로 나타내요. 상자 3의 공은 $a+d$개, 상자 2의 공은 $b+c+d$개이므로
$$a+d=(b+c+d)+1 \iff a=b+c+1.$$
- 두 조건을 동시에 만족하는 경우를 모두 찾아요. $a=b+c+1$을 $a+b+c+d=4$에 대입하면 $2b+2c+d=3$, 즉 $d$는 홀수예요.
- $d=3$: $b+c=0$, $a=1$ → $a+c=1$ 홀수 (총합 홀수 성립)
- $d=1$: $b+c=1$, $a=2$
- $(b,c)=(1,0)$: $a+c=2$ 짝수 → 제외
- $(b,c)=(0,1)$: $a+c=3$ 홀수 → 성립
- $P(A\cap B)$를 계산해요. 각 경우의 확률을 구해 더해요.
$(a,b,c,d)=(1,0,0,3)$: $\dfrac{4!}{1!\,3!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{216}=\dfrac{1}{108}$
$(a,b,c,d)=(2,0,1,1)$: $\dfrac{4!}{2!\,1!\,1!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{1}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{1}=12\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{12}$
$$P(A\cap B)=\frac{1}{108}+\frac{1}{12}=\frac{1+9}{108}=\frac{10}{108}=\frac{5}{54}$$
- $P(A)$를 계산해요. 홀수 개의 공을 넣는 시행(홀수 눈 또는 눈 4)의 확률은 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$이에요. 4번 중 이런 시행이 홀수 번이어야 하므로
$$P(A)=\frac{1-(1-2\cdot\frac{2}{3})^{4}}{2}=\frac{1-\frac{1}{81}}{2}=\frac{40}{81}.$$
- 마지막으로 조건부확률을 구해요.
$$P(B\mid A)=\frac{5/54}{40/81}=\frac{5}{54}\cdot\frac{81}{40}=\frac{3}{16}$$
검산
컴퓨터로 $6^4=1296$가지 주사위 눈 수열을 전부 세어 보면, 총합이 홀수인 경우는 $640/1296=40/81$, 총합이 홀수이면서 상자3 = 상자2 + 1인 경우는 $120/1296=5/54$이고, 조건부확률은 $120/640=0.1875=\dfrac{3}{16}$으로 위 결과와 정확히 일치해요. 참고로 4번 시행에 필요한 공은 최대 $4\times4=16$개이므로 준비된 16개로 항상 충분해요.
답
$\dfrac{3}{16}$ — ② 번
확인해보기
눈 6이 나오는 시행은 총 공의 개수의 홀짝(사건 $A$)과 상자 2·상자 3의 개수 차이에 각각 어떤 영향을 주는지, 표를 보며 스스로 설명해 볼까요?