어떤 문제인가
이 문제는 주사위와 동전을 던지는 복합적인 시행을 여러 번 반복할 때, 특정 사건이 일어나는 횟수의 분포를 다루는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 독립시행의 확률과 조건부 확률: 주사위 눈에 따라 동전을 던지는 횟수가 달라지므로, 각 경우의 확률을 나누어 구한 뒤 더해야 합니다.
- 이항분포와 평균: 시행을 $N$번 반복할 때, 사건이 일어나는 횟수 $X$는 이항분포 $B(n, p)$를 따르며, 이때 평균은 $\text{E}(X) = np$입니다.
- 이항분포의 정규분포 근사: 시행 횟수 $n$이 충분히 클 때, 이항분포는 정규분포 $N(np, npq)$로 근사하여 표준화 과정을 통해 확률을 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 한 번의 시행에서 기록되는 수가 3일 확률 $p$ 구하기
먼저 주사위를 던져 나온 눈에 따라 동전을 던지는 횟수가 달라집니다. 주사위 눈의 수 $a$에 따라 두 가지 경우로 나누어 확률을 구해봅시다.
- **경우 1: 주사위 눈이 $a$ 이하로 나오는 경우**
* 주사위 눈이 $a$ 이하일 확률은 $\frac{a}{6}$입니다.
* 이 경우 동전을 5번 던지므로, 앞면이 3번 나올 확률은 독립시행의 확률 공식에 의해 다음과 같습니다.
$$\binom{5}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16}$$
- **경우 2: 주사위 눈이 $a$보다 크게 나오는 경우**
* 주사위 눈이 $a$보다 클 확률은 $\frac{6-a}{6}$입니다.
* 이 경우 동전을 3번 던지므로, 앞면이 3번 나올 확률은 다음과 같습니다.
$$\binom{3}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 \times \frac{1}{8} = \frac{2}{16}$$
따라서, 한 번의 시행에서 기록되는 수가 3일 확률 $p$는 두 경우의 확률을 더한 것입니다.
$$p = \left(\frac{a}{6} \times \frac{5}{16}\right) + \left(\frac{6-a}{6} \times \frac{2}{16}\right)$$
$$p = \frac{5a + 2(6-a)}{96} = \frac{3a + 12}{96} = \frac{a + 4}{32}$$
2단계: 평균 $\text{E}(X)$를 이용하여 $a$의 값 구하기
이 시행을 $19200$번 반복하므로, 기록된 수가 3인 횟수 $X$는 이항분포 $B(19200, p)$를 따릅니다.
이항분포의 평균 공식 $\text{E}(X) = np$를 이용하면 다음과 같습니다.
$$\text{E}(X) = 19200 \times \frac{a+4}{32} = 600(a+4)$$
문제에서 $\text{E}(X) = 4800$이라고 주어졌으므로, 식을 세워 $a$를 구합니다.
$$600(a+4) = 4800$$
$$a+4 = 8 \implies a = 4$$
$a=4$는 $6$ 이하의 자연수라는 조건에 잘 맞습니다!
3단계: 확률변수 $X$의 정규분포 근사하기
$a=4$이므로, 한 번의 시행에서 성공할 확률 $p$는 다음과 같습니다.
$$p = \frac{4+4}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$
시행 횟수 $n = 19200$은 충분히 크므로, 이항분포 $X \sim B\left(19200, \frac{1}{4}\right)$는 정규분포를 따르게 됩니다.
- 평균 $m = np = 19200 \times \frac{1}{4} = 4800$
- 분산 $\sigma^2 = npq = 19200 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 3600 = 60^2$
따라서 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(4800, 60^2)$을 따릅니다.
4단계: 표준화를 통해 확률 $k$ 구하기
우리가 구하고자 하는 확률은 $\text{P}(X \le 4800 + 30a)$입니다. $a=4$를 대입하면 다음과 같습니다.
$$\text{P}(X \le 4800 + 30(4)) = \text{P}(X \le 4920)$$
이제 표준정규분포변수 $Z = \frac{X - m}{\sigma} = \frac{X - 4800}{60}$를 이용하여 표준화해 봅시다.
$$\text{P}(X \le 4920) = \text{P}\left(Z \le \frac{4920 - 4800}{60}\right) = \text{P}\left(Z \le \frac{120}{60}\right) = \text{P}(Z \le 2)$$
표준정규분포의 대칭성을 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$\text{P}(Z \le 2) = \text{P}(Z \le 0) + \text{P}(0 \le Z \le 2)$$
$$\text{P}(Z \le 2) = 0.5 + \text{P}(0 \le Z \le 2)$$
주어진 표준정규분포표에서 $\text{P}(0 \le Z \le 2) = 0.477$이므로,
$$k = 0.5 + 0.477 = 0.977$$
5단계: 최종 답 계산하기
구하고자 하는 값은 $1000 \times k$입니다.
$$1000 \times k = 1000 \times 0.977 = 977$$
답
$$977$$
확인해보기
이항분포 $B(n, p)$를 정규분포 $N(np, npq)$로 근사하여 문제를 풀 수 있는 수학적 근거는 무엇이며, 보통 시행 횟수 $n$이 어느 정도로 커야 이 근사를 사용할 수 있을까요? 스스로 한 번 생각해보세요!