어떤 문제인가
이 문제는 $n$이 무한히 커질 때, 지수 형태로 표현된 수열의 극한값을 구하는 문제입니다. 무한대 분의 무한대($\frac{\infty}{\infty}$) 꼴의 극한을 해결하는 방법을 묻고 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수법칙: $2^{n+1} = 2 \times 2^n$과 같이 지수를 분리하여 밑이 같은 항끼리 비교하기 쉽게 만듭니다.
- 증가 속도 비교 (밑의 크기): 밑(base)의 절댓값이 클수록 $n$이 커질 때 훨씬 더 빠르게 증가합니다. 즉, $5^n$이 $2^n$보다 훨씬 빠르게 커집니다.
- 등비수열의 극한: 공비 $r$의 절댓값이 $1$보다 작을 때($|r| < 1$), $n$이 무한대로 가면 $r^n$은 $0$으로 수렴합니다. ($\lim_{n \to \infty} r^n = 0$)
단계별 풀이
1단계: 식을 비교하기 좋게 정리하기
먼저 분자에 있는 $2^{n+1}$을 지수법칙을 이용하여 분리해 줍니다. 이렇게 하면 모든 지수항의 지수를 $n$으로 통일할 수 있어서 비교하기 쉬워집니다.
$$2^{n+1} = 2^1 \times 2^n = 2 \times 2^n$$
이 식을 원래 문제에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{4 \times 5^n - 2 \times 2^n}{5^n + 2^n}$$
2단계: 분모에서 가장 영향력이 큰 항 찾기
분모를 보면 $5^n$과 $2^n$이 있습니다. $n$이 무한히 커질 때, 밑이 $5$인 $5^n$이 밑이 $2$인 $2^n$보다 훨씬 빠른 속도로 커집니다. 따라서 이 식의 전체적인 값을 결정하는 '가장 영향력이 큰 항'은 **$5^n$**입니다.
3단계: 분자, 분모를 $5^n$으로 나누기
식의 값을 왜곡하지 않으면서 극한을 구하기 위해, 분자와 분모를 분모의 최고 영향력 항인 $5^n$으로 각각 나누어 줍니다.
$$\frac{\frac{4 \times 5^n - 2 \times 2^n}{5^n}}{\frac{5^n + 2^n}{5^n}}$$
각 항을 따로 나누어 정리해 볼까요?
- 분자:
$$\frac{4 \times 5^n}{5^n} - \frac{2 \times 2^n}{5^n} = 4 - 2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^n$$
- 분모:
$$\frac{5^n}{5^n} + \frac{2^n}{5^n} = 1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n$$
따라서 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{4 - 2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n}$$
4단계: 극한값 계산하기
이제 $n$을 무한대($\infty$)로 보내봅니다.
여기서 $\left(\frac{2}{5}\right)^n$의 밑인 $\frac{2}{5}$는 $1$보다 작으므로, $n$이 커질수록 이 값은 $0$에 가까워집니다.
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$$
이 성질을 식에 적용하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{4 - 2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{5}\right)^n} = \frac{4 - 2 \times 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4$$
답
④ 4
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
질문:
만약 문제의 식에서 분모의 $5^n$ 대신 $6^n$이 들어가서 다음과 같이 바뀐다면, 이 수열의 극한값은 얼마가 될까요? 분모에서 가장 밑이 큰 항이 무엇인지 생각하며 풀어보세요.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{4 \times 5^n - 2^{n+1}}{6^n + 2^n}$$