어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 접선의 기울기와 미분계수: 곡선 위의 점 $(x, y)$에서 접선의 기울기는 미분계수 $\frac{dy}{dx}$의 값과 같습니다.
- 음함수의 미분법: 주어진 식처럼 $y = f(x)$ 꼴로 정리하기 어려운 곡선의 방정식은, $y$를 $x$의 함수로 생각하고 양변을 $x$에 대해 미분합니다. 이때 $y$가 포함된 항을 미분할 때는 합성함수의 미분법을 적용하여 뒤에 $\frac{dy}{dx}$를 곱해줍니다.
- 곱의 미분법: 두 식의 곱으로 이루어진 항(예: $xy$)을 미분할 때는 $(fg)' = f'g + fg'$ 공식을 사용합니다.
단계별 풀이
1. 양변을 $x$에 대해 미분하기 (음함수의 미분법 적용)
우리가 구하고자 하는 것은 접선의 기울기, 즉 $\frac{dy}{dx}$입니다. 식 $2x + \sqrt{y} = xy$를 $y$에 대해 정리하기는 까다로우므로, 양변을 $x$에 대해 바로 미분해 봅시다.
각 항을 하나씩 미분해 볼까요?
- **$2x$ 미분**: $x$에 대해 미분하면 간단히 $2$가 됩니다.
- **$\sqrt{y}$ 미분**: $y$는 $x$에 대한 함수이므로, 합성함수의 미분법을 씁니다. 먼저 $y$에 대해 미분한 후 $\frac{dy}{dx}$를 곱해줍니다.
$$\frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{d}{dx}(y^{1/2}) = \frac{1}{2}y^{-1/2} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx}$$
- **$xy$ 미분**: $x$와 $y$의 곱이므로 곱의 미분법을 적용합니다.
$$\frac{d}{dx}(xy) = \left(\frac{d}{dx}(x)\right)y + x\left(\frac{d}{dx}(y)\right) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$$
이제 이 미분한 항들을 원래 방정식에 대입하여 정리합니다.
$$2 + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$$
2. 점 $(-1, 1)$의 좌표 대입하기
우리가 구하고 싶은 것은 **점 $(-1, 1)$에서의** 접선의 기울기입니다. 즉, $x = -1$, $y = 1$일 때의 $\frac{dy}{dx}$ 값을 구하는 것이죠.
$\frac{dy}{dx}$에 대해 식을 먼저 정리한 후에 대입해도 되지만, 숫자를 먼저 대입하면 계산이 훨씬 간단해집니다. 식에 $x = -1$, $y = 1$을 대입해 봅시다.
$$2 + \frac{1}{2\sqrt{1}} \frac{dy}{dx} = 1 + (-1) \frac{dy}{dx}$$
식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$2 + \frac{1}{2} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$$
3. 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 구하기
이제 $\frac{dy}{dx}$를 하나의 미지수(예를 들어 $M$)로 생각하고 일차방정식을 풀어봅시다.
우변의 $-\frac{dy}{dx}$를 좌변으로 이항하고, 좌변의 상수 $2$를 우변으로 이항합니다.
$$\frac{1}{2} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - 2$$
동류항끼리 계산합니다.
$$\frac{3}{2} \frac{dy}{dx} = -1$$
양변에 $\frac{2}{3}$를 곱하여 $\frac{dy}{dx}$를 구합니다.
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}$$
따라서 점 $(-1, 1)$에서의 접선의 기울기는 $-\frac{2}{3}$입니다.
답
③ $-\frac{2}{3}$
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 다음 질문에 스스로 답해 보며 개념을 다져보세요!
> 질문: 곡선 $x^2 + y^2 = 5$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기를 음함수의 미분법을 이용하여 구해보세요. (힌트: 양변을 $x$에 대해 미분한 후, $x=1, y=2$를 대입해 보세요.)