어떤 문제인가
이 문제는 두 등차수열의 일반항을 구한 뒤, 분수 형태의 수열의 합(급수)을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$입니다.
- 부분분수 분해: 분모가 두 식의 곱으로 되어 있을 때, $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$ 공식을 이용해 식을 쉬운 형태로 쪼갤 수 있습니다.
- 망원급수(Telescoping Series)의 합: 이웃한 항들이 서로 지워지는 규칙을 찾아 무한대까지의 합을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 등차수열 $a_n$과 $b_n$의 일반항 구하기
먼저 문제에서 주어진 조건을 이용해 두 수열의 일반항을 구해봅시다.
두 수열 모두 공차 $d = 3$입니다.
- 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $4$이므로:
$$a_n = 4 + (n-1) \times 3 = 3n + 1$$
- 수열 $\{b_n\}$은 첫째항이 $7$이므로:
$$b_n = 7 + (n-1) \times 3 = 3n + 4$$
2단계: 구하고자 하는 식을 부분분수로 변형하기
우리가 구해야 하는 값은 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n b_n}$입니다. 일반항을 대입하면 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{a_n b_n} = \frac{1}{(3n+1)(3n+4)}$$
이 식에 부분분수 공식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$를 적용해 봅시다.
여기서 $A = 3n+1$, $B = 3n+4$로 두면, $B-A = (3n+4) - (3n+1) = 3$이 됩니다.
따라서 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$$\frac{1}{(3n+1)(3n+4)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)$$
3단계: 부분합 $S_k$ 구하기 (소거되는 규칙 찾기)
무한대까지 더하기 전에, 우선 $1$항부터 $k$항까지의 합인 부분합 $S_k$를 구해서 규칙을 찾아봅시다.
$$S_k = \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)$$
상수 $\frac{1}{3}$을 앞으로 묶어내고, $n=1$부터 $k$까지 차례대로 대입해 더해봅니다.
$$S_k = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{13} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{3k+1} - \frac{1}{3k+4} \right) \right]$$
괄호를 풀고 보면, 안쪽의 항들이 서로 이웃하며 지워지는 아름다운 규칙이 보입니다!
$-\frac{1}{7}$과 $+\frac{1}{7}$이 지워지고, $-\frac{1}{10}$과 $+\frac{1}{10}$이 지워집니다. 이처럼 계속 지워지다 보면 결국 맨 앞의 항과 맨 뒤의 항만 남게 됩니다.
$$S_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3k+4} \right)$$
4단계: 극한을 취해 급수의 합 구하기
이제 $k$를 무한대($\infty$)로 보내어 최종 급수의 합을 구합니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n b_n} = \lim_{k \to \infty} S_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3k+4} \right)$$
여기서 $k \to \infty$일 때, 분모가 무한히 커지는 $\frac{1}{3k+4}$는 $0$으로 수렴합니다.
$$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{3k+4} = 0$$
따라서 남은 값들을 계산하면 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{12}$$
답
**② $\frac{1}{12}$**
확인해보기
만약 두 수열의 공차는 그대로 $3$이지만, 첫째항이 각각 $a_1 = 2$, $b_1 = 5$로 바뀐다면 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n b_n}$의 값은 어떻게 변할지 스스로 식을 세워 계산해 보세요!