어떤 문제인가
이 문제는 삼각함수의 그래프와 직선이 만나는 점을 찾고, 그 점들에서의 접선이 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 삼각방정식 풀기: 곡선과 직선의 교점의 좌표를 구합니다.
- 도함수와 접선의 기울기: 미분을 이용해 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기를 구합니다.
- 두 직선이 이루는 예각 공식: 두 직선의 기울기를 알 때, 두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대한 $\tan\theta$ 값을 구하는 삼각함수의 덧셈정리 공식을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 교점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$의 $x$좌표 구하기
먼저 곡선 $y=\sin x$와 직선 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$이 만나는 점의 $x$좌표를 구해야 합니다. 교점의 $x$좌표는 두 식을 같다고 놓은 방정식의 해와 같습니다.
$$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (0 < x < \pi) $$
우리가 잘 알고 있는 특수각을 생각해보면, $0$과 $\pi$ 사이에서 사인의 값이 $\frac{\sqrt{3}}{2}$이 되는 $x$값은 두 개가 있습니다.
- $x = \frac{\pi}{3}$
- $x = \frac{2\pi}{3}$
따라서 두 교점의 좌표는 다음과 같습니다.
- $\mathrm{A} = \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- $\mathrm{B} = \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
2단계: 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$에서의 접선의 기울기 구하기
곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수(도함수의 값)와 같습니다.
함수 $f(x) = \sin x$를 미분해 봅시다.
$$ f'(x) = \cos x $$
이제 두 점의 $x$좌표를 각각 대입하여 접선의 기울기를 구합니다.
- 점 $\mathrm{A}\left(x = \frac{\pi}{3}\right)$에서의 접선의 기울기를 $m_1$이라 하면,
$$ m_1 = f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$
- 점 $\mathrm{B}\left(x = \frac{2\pi}{3}\right)$에서의 접선의 기울기를 $m_2$이라 하면,
$$ m_2 = f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $$
3단계: 두 접선이 이루는 예각 $\theta$에 대해 $\tan\theta$ 구하기
기울기가 각각 $m_1, m_2$인 두 직선이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 삼각함수의 덧셈정리에 의해 다음 공식이 성립합니다. (예각이므로 탄젠트 값은 항상 양수여야 해서 절댓값을 씌웁니다.)
$$ \tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| $$
위에서 구한 $m_1 = \frac{1}{2}$과 $m_2 = -\frac{1}{2}$을 공식에 대입해 계산해 봅시다.
$$ \tan\theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)} \right| $$
분자와 분모를 각각 정리하면,
- 분자: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
- 분모: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
따라서,
$$ \tan\theta = \left| \frac{1}{\frac{3}{4}} \right| = \frac{4}{3} $$
답
⑤ $\frac{4}{3}$
확인해보기
만약 직선이 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 대신 **$y = \frac{1}{2}$**로 바뀐다면, 두 교점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$에서의 접선의 기울기는 각각 얼마가 될까요? (스스로 계산해 보며 단계를 복습해 보세요!)