어떤 문제인가
이 문제는 좌표평면 위를 움직이는 점의 위치가 매개변수 $t$로 주어졌을 때, 특정 시각에서의 속력을 비교하여 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 평면 운동에서의 속도와 속력: 위치 $(x, y)$를 시각 $t$에 대해 각각 미분하면 속도 성분 $\left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$를 얻고, 이 속도 벡터의 크기(피타고라스 정리 이용)가 바로 속력입니다.
$$\text{속력} = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$$
- 삼각함수의 미분: $\tan t$와 $\sec t$의 도함수를 정확히 알고 있어야 합니다.
$$(\tan t)' = \sec^2 t, \quad (\sec t)' = \sec t \tan t$$
단계별 풀이
1단계: 위치 식을 미분하여 속도 성분 구하기
점 $\text{P}$의 위치가 $x = at + \tan t$, $y = 1 + \sec t$로 주어졌으므로, 각각을 시각 $t$에 대해 미분하여 속도 성분 $\frac{dx}{dt}$와 $\frac{dy}{dt}$를 구합니다.
$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at + \tan t) = a + \sec^2 t$$
$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 + \sec t) = \sec t \tan t$$
2단계: 속력 공식 세우기
속력은 속도 성분의 제곱의 합에 루트를 씌운 것입니다. 계산을 편리하게 하기 위해, 두 시각에서의 **(속력)$^2$**이 같다는 성질을 이용하겠습니다.
$$\text{속력}^2 = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (a + \sec^2 t)^2 + (\sec t \tan t)^2$$
3단계: 시각 $t = \pi$에서의 속력의 제곱 구하기
먼저 계산이 더 간단한 $t = \pi$일 때의 값을 대입해 봅시다.
삼각함수의 값을 구하면 다음과 같습니다:
- $\cos \pi = -1 \implies \sec \pi = \frac{1}{\cos \pi} = -1$
- $\tan \pi = 0$
이 값들을 속도 성분에 대입합니다:
- $\frac{dx}{dt}\Big|_{t=\pi} = a + (-1)^2 = a + 1$
- $\frac{dy}{dt}\Big|_{t=\pi} = (-1) \times 0 = 0$
따라서 $t = \pi$에서의 속력의 제곱은 다음과 같습니다:
$$\text{속력}^2 = (a + 1)^2 + 0^2 = (a + 1)^2$$
4단계: 시각 $t = \frac{3\pi}{4}$에서의 속력의 제곱 구하기
이번에는 $t = \frac{3\pi}{4}$일 때의 값을 대입해 봅시다.
- $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \sec \frac{3\pi}{4} = -\sqrt{2}$
- $\tan \frac{3\pi}{4} = -1$
이 값들을 속도 성분에 대입합니다:
- $\frac{dx}{dt}\Big|_{t=\frac{3\pi}{4}} = a + (-\sqrt{2})^2 = a + 2$
- $\frac{dy}{dt}\Big|_{t=\frac{3\pi}{4}} = (-\sqrt{2}) \times (-1) = \sqrt{2}$
따라서 $t = \frac{3\pi}{4}$에서의 속력의 제곱은 다음과 같습니다:
$$\text{속력}^2 = (a + 2)^2 + (\sqrt{2})^2 = (a + 2)^2 + 2$$
5단계: 두 속력이 같다는 조건을 이용하여 $a$ 구하기
문제에서 두 시각에서의 속력이 같다고 했으므로, 속력의 제곱도 같습니다.
$$(a + 2)^2 + 2 = (a + 1)^2$$
이 방정식을 전개하여 풀어봅시다.
$$a^2 + 4a + 4 + 2 = a^2 + 2a + 1$$
양변에서 $a^2$을 지우고 정리하면:
$$4a + 6 = 2a + 1$$
$$2a = -5$$
$$a = -\frac{5}{2}$$
답
**① $-\frac{5}{2}$**
확인해보기
좌표평면 위를 움직이는 점 $\text{Q}$의 시각 $t$에서의 위치가 $(x, y) = (\sin t, \cos t)$로 주어졌습니다. 이 점 $\text{Q}$의 속력은 시각 $t$에 관계없이 항상 일정할까요? 직접 속력을 구하는 식을 세워 확인해 보세요.