어떤 문제인가
이 문제는 좌표평면 위의 두 곡선과 직선의 교점을 활용하여 정의된 두 함수 $f(t)$와 $g(t)$의 관계를 파악하고, 미분법을 이용해 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 식 세우기: 문제의 조건에 따라 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 좌표를 설정하고, $f(t)$와 $g(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타냅니다.
- 역함수의 미분법: 두 함수 $f(t)$와 $g(t)$가 서로 역함수 관계임을 파악하고, 역함수의 미분 공식을 적용합니다.
- 이계도함수와 미분계수의 정의: 주어진 극한식이 이계도함수($f''(1)$, $g''(1)$)와 어떻게 연결되는지 이해하고 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\text{P}$, $\text{Q}$의 좌표를 설정하고 $f(t), g(t)$ 식 나타내기
먼저 두 곡선의 식은 다음과 같습니다.
- 곡선 1: $y = e^{2x} - e^{-x} + 1$
- 곡선 2: $y = e^{2x}$
직선 $y=t$가 두 곡선과 만나는 점을 각각 $\text{P}$, $\text{Q}$라 합시다.
- 점 $\text{P}$의 $x$좌표를 $x_1$이라 하면, 점 $\text{P}$는 곡선 1 위에 있으므로 다음이 성립합니다.
$$t = e^{2x_1} - e^{-x_1} + 1$$
이때, 점 $\text{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선($x = x_1$)이 곡선 2와 만나는 점의 $y$좌표가 $f(t)$이므로,
$$f(t) = e^{2x_1}$$
이 식을 이용하면 $e^{-x_1} = (e^{2x_1})^{-1/2} = \{f(t)\}^{-1/2}$이므로, 위의 $t$에 대한 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$t = f(t) - \{f(t)\}^{-1/2} + 1 \quad \cdots \text{(ㄱ)}$$
- 점 $\text{Q}$의 $x$좌표를 $x_2$라 하면, 점 $\text{Q}$는 곡선 2 위에 있으므로 다음이 성립합니다.
$$t = e^{2x_2}$$
이때, 점 $\text{Q}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선($x = x_2$)이 곡선 1과 만나는 점의 $y$좌표가 $g(t)$이므로,
$$g(t) = e^{2x_2} - e^{-x_2} + 1$$
여기서 $e^{2x_2} = t$이고, $e^{-x_2} = (e^{2x_2})^{-1/2} = t^{-1/2}$이므로 이를 대입하면 $g(t)$를 $t$에 대한 직접적인 식으로 구할 수 있습니다!
$$g(t) = t - t^{-1/2} + 1 \quad \cdots \text{(ㄴ)}$$
2단계: $f(t)$와 $g(t)$의 역함수 관계 발견하기
식 (ㄱ)과 식 (ㄴ)을 가만히 비교해 볼까요?
- 식 (ㄴ): $g(t) = t - t^{-1/2} + 1$
- 식 (ㄱ): $t = f(t) - \{f(t)\}^{-1/2} + 1$
식 (ㄱ)의 우변은 식 (ㄴ)의 $t$ 자리에 $f(t)$를 대입한 것과 완전히 같습니다! 즉, 다음 관계가 성립합니다.
$$g(f(t)) = t$$
두 함수를 합성했더니 항등함수 $t$가 나왔다는 것은, **$f(t)$와 $g(t)$가 서로 역함수 관계**라는 뜻입니다!
$$f(t) = g^{-1}(t)$$
3단계: $t=1$에서의 함숫값과 일계도함수($f'(1), g'(1)$) 구하기
우리가 구해야 하는 극한값은 $t \to 1$일 때입니다. 먼저 필요한 값들을 구해봅시다.
- **$f(1)$ 구하기**
$g(f(1)) = 1$이므로, $g(x) = 1$을 만족하는 $x$를 찾으면 됩니다.
$$x - x^{-1/2} + 1 = 1 \implies x - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies x^{3/2} = 1 \implies x = 1$$
따라서 $f(1) = 1$입니다.
- **$g'(1)$과 $f'(1)$ 구하기**
$g(t) = t - t^{-1/2} + 1$을 미분하면,
$$g'(t) = 1 + \frac{1}{2}t^{-3/2}$$
여기에 $t=1$을 대입하면,
$$g'(1) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
역함수 미분법에 의해 $f'(1)$은 다음과 같습니다.
$$f'(1) = \frac{1}{g'(f(1))} = \frac{1}{g'(1)} = \frac{2}{3}$$
여기서 잠깐! 구하고자 하는 극한식의 분자를 보면 $t \to 1$일 때,
$$9f'(t) - 4g'(t) \to 9f'(1) - 4g'(1) = 9\left(\frac{2}{3}\right) - 4\left(\frac{3}{2}\right) = 6 - 6 = 0$$
분모도 $t-1 \to 0$으로 가므로, 이 극한은 $\frac{0}{0}$ 꼴입니다. 미분계수의 정의를 사용해 볼까요?
4단계: 이계도함수($f''(1), g''(1)$)를 구하여 극한값 계산하기
구하고자 하는 극한을 미분계수의 정의로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\lim_{t \to 1} \frac{\{9f'(t) - 4g'(t)\} - \{9f'(1) - 4g'(1)\}}{t-1} = 9f''(1) - 4g''(1)$$
이제 이계도함수의 값을 구해봅시다.
- **$g''(1)$ 구하기**
$g'(t) = 1 + \frac{1}{2}t^{-3/2}$를 한 번 더 미분합니다.
$$g''(t) = -\frac{3}{4}t^{-5/2}$$
$t=1$을 대입하면,
$$g''(1) = -\frac{3}{4}$$
- **$f''(1)$ 구하기**
역함수 관계식 $g(f(t)) = t$를 양변 미분하면 $g'(f(t)) \cdot f'(t) = 1$입니다.
이 식을 곱의 미분법을 이용하여 한 번 더 미분해 봅시다.
$$g''(f(t)) \cdot \{f'(t)\}^2 + g'(f(t)) \cdot f''(t) = 0$$
여기에 $t=1$을 대입합니다. ($f(1)=1, f'(1)=\frac{2}{3}, g'(1)=\frac{3}{2}, g''(1)=-\frac{3}{4}$)
$$g''(1) \cdot \{f'(1)\}^2 + g'(1) \cdot f''(1) = 0$$
$$\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{3}{2} \cdot f''(1) = 0$$
$$\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{4}{9} + \frac{3}{2} f''(1) = 0$$
$$-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} f''(1) = 0 \implies \frac{3}{2} f''(1) = \frac{1}{3} \implies f''(1) = \frac{2}{9}$$
- 최종 극한값 계산
우리가 구하려는 값은 $9f''(1) - 4g''(1)$이므로 대입해 줍니다.
$$9\left(\frac{2}{9}\right) - 4\left(-\frac{3}{4}\right) = 2 - (-3) = 5$$
답
**③ $5$**
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 스스로 생각해보세요.
> 두 미분가능한 함수 $h(x)$와 $k(x)$가 서로 역함수 관계이고, $h(2) = 3$, $h'(2) = 4$, $h''(2) = 5$라고 합니다. 이때 역함수 $k(x)$의 $x=3$에서의 이계도함수 값인 $k''(3)$은 어떻게 구할 수 있을까요? (위의 4단계에서 사용한 음함수 미분법 과정을 적용해 보세요!)