반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학을 배워봅시다.
오늘 함께 풀어볼 문제는 등차수열과 등비수열의 성질, 그리고 무한등비급수의 수렴 조건을 융합한 아주 멋진 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 조건들을 하나씩 차근차근 정리하다 보면 실타래가 풀리듯 답이 보일 거예요. 선생님과 함께 한 단계씩 나아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 수열 $\{a_n\}$(등차수열)과 $\{b_n\}$(등비수열)의 관계를 파악하고, 무한급수의 합을 최소로 만드는 조건을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 등차수열과 등비수열의 일반항: 첫째항과 공차($d$), 공비($r$)를 이용해 식 세우기
- 무한등비급수의 수렴 조건: 공비 $r$의 범위가 $-1 < r < 1$이어야 수렴하며, 이때 합은 $\frac{a}{1-r}$이 된다는 성질
- 삼각함수의 성질: 정수 $k$에 대하여 $\cos(k\pi)$는 $k$가 짝수일 때 $1$, 홀수일 때 $-1$이 된다는 성질
단계별 풀이
1단계: 수열의 기본 식 세우기와 공비 $r$의 범위 파악하기
먼저 두 수열의 일반항을 정의해 봅시다.
- 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$라 합시다. 모든 항이 정수이므로 $a_1$과 $d$는 정수입니다.
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
- 등비수열 $\{b_n\}$의 첫째항을 $b_1$, 공비를 $r$이라 합시다. 모든 항이 양수이므로 $b_1 > 0$, $r > 0$입니다.
$$b_n = b_1 r^{n-1}$$
여기서 아주 중요한 힌트가 있습니다. 문제에서 **급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$이 수렴한다**고 했습니다.
모든 항이 양수인 등비급수가 수렴하려면 공비 $r$의 범위는 어떻게 되어야 할까요?
바로 **$0 < r < 1$**이어야 합니다. 이 범위를 꼭 기억해 두세요!
2단계: 조건 (가)를 이용해 식 정리하기
조건 (가)에서 $a_1 = b_1$, $a_4 = b_2$라고 했습니다. 이 식을 우리가 세운 일반항으로 나타내 봅시다.
$$a_1 = b_1$$
$$a_1 + 3d = b_1 r \implies a_1 + 3d = a_1 r$$
이 식을 $3d$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$3d = a_1(r - 1)$$
여기서 부호를 생각해 볼까요?
- $a_1 = b_1 > 0$ (모든 항이 양수이므로 첫째항은 양수)
- $0 < r < 1$ 이므로 $(r - 1) < 0$ (음수)
따라서 우변인 $a_1(r-1)$은 음수입니다. 즉, $3d < 0$이므로 **공차 $d$는 음의 정수($d < 0$)**여야 합니다.
3단계: 조건 (나)를 이용해 공비 $r$의 후보 압축하기
조건 (나)에서 어떤 자연수 $k$에 대하여 $a_k = b_3$이라고 했습니다. 식을 세워봅시다.
$$a_1 + (k-1)d = b_1 r^2 = a_1 r^2$$
2단계에서 얻은 $a_1 r = a_1 + 3d$에서 $r = 1 + \frac{3d}{a_1}$임을 알 수 있습니다. 이를 위 식에 대입해 봅시다.
$$a_1 + (k-1)d = a_1 \left(1 + \frac{3d}{a_1}\right)^2$$
우변을 전개해 볼까요?
$$a_1 + (k-1)d = a_1 \left(1 + \frac{6d}{a_1} + \frac{9d^2}{a_1^2}\right) = a_1 + 6d + \frac{9d^2}{a_1}$$
양변에서 $a_1$을 지우고 정리하면:
$$(k-1)d = 6d + \frac{9d^2}{a_1}$$
여기서 $d \neq 0$이므로 양변을 $d$로 나눌 수 있습니다.
$$k-1 = 6 + \frac{9d}{a_1} \implies k-7 = \frac{9d}{a_1}$$
$k$는 자연수이므로 $k-7$은 정수입니다. 즉, $\frac{9d}{a_1}$는 정수여야 합니다.
편의상 $k-7 = -p$ (단, $p$는 정수)라고 두겠습니다. ($d < 0, a_1 > 0$이므로 이 값은 음수입니다. 따라서 $p$는 양의 정수입니다.)
$$\frac{9d}{a_1} = -p \implies \frac{3d}{a_1} = -\frac{p}{3}$$
이를 아까 구한 $r = 1 + \frac{3d}{a_1}$에 대입하면:
$$r = 1 - \frac{p}{3}$$
우리는 1단계에서 $0 < r < 1$임을 알았습니다. 이 범위에 대입해 보면:
$$0 < 1 - \frac{p}{3} < 1 \implies 0 < p < 3$$
$p$는 양의 정수이므로, 가능한 $p$의 값은 **$1$ 또는 $2$** 뿐입니다!
- **Case 1) $p = 1$일 때**: $r = \frac{2}{3}$ 이고, $a_1 = -9d$
- **Case 2) $p = 2$일 때**: $r = \frac{1}{3}$ 이고, $a_1 = -\frac{9}{2}d$
4단계: 구하고자 하는 식 $\left| \sum_{n=1}^{\infty} (b_n \cos(a_n \pi)) \right|$ 분석하기
코사인 함수 $\cos(a_n \pi)$를 살펴봅시다. $a_n$은 정수이므로, $\cos(a_n \pi)$는 $a_n$의 홀짝성에 따라 결정됩니다.
$$\cos(a_n \pi) = (-1)^{a_n}$$
등차수열 $a_n = a_1 + (n-1)d$에서 공차 $d$의 홀짝성에 따라 두 가지 상황이 발생합니다.
- **공차 $d$가 짝수일 때**:
$a_n$의 홀짝성이 변하지 않고 항상 일정합니다. (모든 항이 홀수이거나 짝수)
따라서 $\cos(a_n \pi)$는 모든 $n$에 대해 항상 $1$이거나 항상 $-1$입니다.
이 경우, 구하고자 하는 식은 다음과 같이 단순한 무한등비급수가 됩니다.
$$\left| \sum_{n=1}^{\infty} (b_n \cos(a_n \pi)) \right| = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{b_1}{1-r} = \frac{a_1}{1-r}$$
- **공차 $d$가 홀수일 때**:
$a_n$의 홀짝성이 번갈아가며 바뀝니다. 즉, $\cos(a_n \pi)$의 부호가 $+1, -1, +1, -1, \dots$로 교대로 나타납니다.
이 경우, 구하고자 하는 식은 공비가 $-r$인 교대등비급수가 됩니다.
$$\left| \sum_{n=1}^{\infty} (b_n \cos(a_n \pi)) \right| = \left| \frac{b_1}{1 - (-r)} \right| = \frac{a_1}{1+r}$$
5단계: 최솟값 $m$ 구하기
이제 3단계에서 구한 두 가지 Case에 대해 최솟값을 찾아봅시다. ($a_1$은 양의 정수여야 함을 유념하세요!)
**Case 1) $r = \frac{2}{3}$, $a_1 = -9d$ 일 때**
- **$d$가 짝수일 때**: $d$는 음의 정수이므로 가장 큰 짝수는 $d = -2$입니다. 이때 $a_1 = 18$입니다.
$$\text{급수의 합} = \frac{a_1}{1-r} = \frac{18}{1 - 2/3} = 54$$
- **$d$가 홀수일 때**: 가장 큰 홀수는 $d = -1$입니다. 이때 $a_1 = 9$입니다.
$$\text{급수의 합} = \frac{a_1}{1+r} = \frac{9}{1 + 2/3} = \frac{9}{5/3} = \frac{27}{5} = 5.4$$
**Case 2) $r = \frac{1}{3}$, $a_1 = -\frac{9}{2}d$ 일 때**
- $a_1$이 정수가 되려면 $d$는 반드시 짝수여야 합니다. 가장 큰 음의 짝수 $d = -2$를 대입하면 $a_1 = 9$입니다.
- $d$가 짝수이므로 식은 $\frac{a_1}{1-r}$을 따릅니다.
$$\text{급수의 합} = \frac{a_1}{1-r} = \frac{9}{1 - 1/3} = \frac{9}{2/3} = \frac{27}{2} = 13.5$$
모든 경우의 수 중에서 가장 작은 값(최솟값 $m$)은 바로 **$5.4$** (즉, $\frac{27}{5}$)입니다!
따라서, $m = 5.4$ 입니다.
답
우리가 구하고자 하는 값은 $10 \times m$ 이므로,
$$10 \times 5.4 = 54$$
**정답은 $54$입니다.**
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 문제에서 수열 $\{b_n\}$의 공비 $r$이 $1$보다 크다면, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$은 어떻게 될까요? 그리고 이때는 왜 이 문제를 풀 수 없을까요?