반갑습니다! 수학을 함께 공부할 여러분의 선생님입니다. 오늘 풀어볼 문제는 미분가능성과 함수의 극값을 활용하는 아주 멋진 삼차함수 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 개념을 하나씩 쪼개서 생각하면 충분히 스스로 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 차근차근 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하다는 조건과 특정 지점에서 극값을 갖는다는 조건을 이용해 삼차함수 $f(x)$를 구하는 문제입니다.
우리가 집중해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 거듭제곱근 함수의 미분가능성: $y = \sqrt[3]{X}$ 꼴의 함수는 $X=0$이 되는 지점에서 미분이 불가능할 수 있습니다. 이를 해결하기 위해 알맹이 함수가 어떤 인수를 가져야 하는지 파악해야 합니다.
- 곱의 미분법과 합성함수의 미분법: $g(x)$를 미분하여 극값을 갖는 조건을 찾습니다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 극값이 되는 $x$ 좌표들을 이용해 $f(x)$의 계수를 결정합니다.
단계별 풀이
1단계: $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능할 조건 분석하기
먼저 함수 $g(x)$를 지수 형태로 나타내어 봅시다.
$$g(x) = \left( x \{f(x)\}^2 \right)^{\frac{1}{3}}$$
이때, $h(x) = x \{f(x)\}^2$라고 두면 $g(x) = \{h(x)\}^{\frac{1}{3}}$입니다.
일반적으로 $y = X^{\frac{1}{3}}$는 $X \neq 0$인 모든 곳에서 미분가능하지만, $X = 0$일 때는 미분계수가 정의되지 않을 수 있습니다. 따라서 $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하려면, $h(x) = 0$이 되는 모든 실근 $\alpha$에 대해 $h(x)$가 $(x-\alpha)$를 최소 3개 이상 인수로 가져야 합니다. (즉, 삼중근 이상이어야 미분했을 때 분모가 $0$이 되지 않습니다.)
$h(x) = x \{f(x)\}^2$에서 이미 $x=0$이라는 인수가 존재하므로, $x=0$에서 미분가능하려면 $\{f(x)\}^2$이 최소한 $x^2$을 인수로 가져야 합니다. 즉, $f(x)$는 $x$를 인수로 가져야 하므로 $f(0) = 0$입니다.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있습니다.
- 경우 A: $f(x) = x(x-\alpha)^2$ ($\alpha \neq 0$)
- 경우 B: $f(x) = x(x^2 + ax + b)$ (단, $x^2 + ax + b = 0$은 실근을 갖지 않음, 즉 판별식 $D < 0$)
*(참고: 만약 $f(x)$가 서로 다른 세 실근을 갖는다면, $h(x)$의 다른 실근들에서 인수의 개수가 2개밖에 되지 않아 그 지점에서 $g(x)$는 미분이 불가능해집니다.)*
2단계: 두 가지 경우 검증하기
경우 A 검증
$f(x) = x(x-\alpha)^2$라고 해봅시다.
그러면 $h(x) = x \cdot x^2(x-\alpha)^4 = x^3(x-\alpha)^4$가 됩니다.
$$g(x) = \{x^3(x-\alpha)^4\}^{\frac{1}{3}} = x(x-\alpha)^{\frac{4}{3}}$$
이 함수를 미분해 극값을 찾아봅시다. 곱의 미분법을 쓰면:
$$g'(x) = (x-\alpha)^{\frac{4}{3}} + x \cdot \frac{4}{3}(x-\alpha)^{\frac{1}{3}}$$
$$g'(x) = (x-\alpha)^{\frac{1}{3}} \left[ (x-\alpha) + \frac{4}{3}x \right] = (x-\alpha)^{\frac{1}{3}} \left( \frac{7}{3}x - \alpha \right)$$
$g'(x) = 0$이 되는 $x$는 $x = \alpha$와 $x = \frac{3}{7}\alpha$입니다. 이 두 지점에서 좌우 부호가 변하므로 둘 다 극값이 됩니다.
문제에서 극값의 위치가 $x = \frac{19}{7}$와 $x = 3$이라고 했습니다.
- 만약 $\alpha = 3$이면, 다른 극값은 $\frac{3}{7} \times 3 = \frac{9}{7}$이 되어 $\frac{19}{7}$과 다릅니다.
- 만약 $\alpha = \frac{19}{7}$이면, 다른 극값은 $\frac{3}{7} \times \frac{19}{7} = \frac{57}{49}$이 되어 $3$과 다릅니다.
따라서 경우 A는 모순이므로 성립하지 않습니다.
경우 B 검증
따라서 $f(x) = x(x^2 + ax + b)$ (단, $x^2 + ax + b > 0$) 형태여야 합니다.
이 경우 $h(x) = x^3 (x^2 + ax + b)^2$이므로,
$$g(x) = x (x^2 + ax + b)^{\frac{2}{3}}$$
이 함수는 실수 전체에서 $x^2 + ax + b > 0$이므로 미분가능합니다.
3단계: $g(x)$ 미분하고 극값 조건 적용하기
이제 $g(x) = x (x^2 + ax + b)^{\frac{2}{3}}$를 미분해 봅시다.
$$g'(x) = (x^2 + ax + b)^{\frac{2}{3}} + x \cdot \frac{2}{3}(x^2 + ax + b)^{-\frac{1}{3}}(2x + a)$$
공통인수인 $(x^2 + ax + b)^{-\frac{1}{3}}$로 묶어 정리합니다.
$$g'(x) = (x^2 + ax + b)^{-\frac{1}{3}} \left[ (x^2 + ax + b) + \frac{2}{3}x(2x + a) \right]$$
$$g'(x) = (x^2 + ax + b)^{-\frac{1}{3}} \left[ \frac{7}{3}x^2 + \frac{5}{3}ax + b \right]$$
$g(x)$가 극값을 갖는 지점은 $g'(x) = 0$이 되는 곳입니다. 분모에 해당하는 $(x^2 + ax + b)^{\frac{1}{3}}$는 항상 양수이므로, 분자 식인 이차방정식이 $0$이 되어야 합니다. 즉,
$$\frac{7}{3}x^2 + \frac{5}{3}ax + b = 0 \implies 7x^2 + 5ax + 3b = 0$$
이 방정식의 두 근이 바로 문제에서 주어진 극값의 위치인 $x = \frac{19}{7}$와 $x = 3$입니다.
4단계: 근과 계수의 관계를 이용해 $a, b$ 구하기
이차방정식 $7x^2 + 5ax + 3b = 0$의 두 근이 $\frac{19}{7}$와 $3$이므로, 근과 계수의 관계를 적용합니다.
- 두 근의 합:
$$\frac{19}{7} + 3 = \frac{40}{7} = -\frac{5a}{7}$$
$$-5a = 40 \implies a = -8$$
- 두 근의 곱:
$$\frac{19}{7} \times 3 = \frac{57}{7} = \frac{3b}{7}$$
$$3b = 57 \implies b = 19$$
우리가 구한 $a = -8, b = 19$를 식 $x^2 + ax + b$에 대입해 판별식을 확인해 보면,
$$D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 19 = 64 - 76 = -12 < 0$$
이므로 항상 양수라는 조건도 완벽하게 만족합니다!
따라서 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x(x^2 - 8x + 19)$$
5단계: $f(5)$의 값 계산하기
마지막으로 $x=5$를 대입하여 답을 구합니다.
$$f(5) = 5 \times (5^2 - 8 \times 5 + 19)$$
$$f(5) = 5 \times (25 - 40 + 19)$$
$$f(5) = 5 \times 4 = 20$$
답
$$20$$
확인해보기
질문: $h(x) = (x-\alpha)^k \cdot q(x)$ (단, $q(\alpha) \neq 0$)라고 할 때, $g(x) = \sqrt[3]{h(x)}$가 $x=\alpha$에서 미분가능하기 위해 자연수 $k$가 왜 $3$ 이상이어야 할까요? 미분계수의 정의식 $\lim_{x \to \alpha} \frac{g(x) - g(\alpha)}{x - \alpha}$을 이용하여 스스로 생각해보세요.