어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근과 분수 모양의 지수가 섞여 있는 식을 간단히 계산하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 거듭제곱근을 지수로 바꾸기: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ (단, $a > 0$)
- 지수법칙 (곱셈): 밑이 같을 때 곱하면 지수끼리 더합니다. ($a^x \times a^y = a^{x+y}$)
- 음수 지수의 의미: 지수에 마이너스($-$)가 있으면 역수를 뜻합니다. ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$)
단계별 풀이
1단계: 밑을 $3$으로 통일하기
지수법칙을 쓰려면 곱해지는 두 수의 '밑(아래에 있는 수)'이 같아야 합니다. 뒤의 수는 밑이 $3$인데, 앞의 수는 $\sqrt[3]{9}$로 모양이 다릅니다. $9 = 3^2$임을 이용해서 앞의 수도 밑이 $3$인 지수 형태로 바꾸어 봅시다.
$$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2}$$
거듭제곱근 공식($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$)을 적용하면 다음과 같이 분수 지수로 바꿀 수 있습니다.
$$\sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$$
2단계: 지수법칙을 이용하여 곱셈 계산하기
이제 원래 식의 두 수를 모두 밑이 $3$인 지수 형태로 나타내었습니다. 밑이 같을 때의 곱셈은 지수끼리의 덧셈으로 계산합니다.
$$\sqrt[3]{9} \times 3^{-\frac{5}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\frac{5}{3}}$$
$$= 3^{\frac{2}{3} + \left(-\frac{5}{3}\right)}$$
지수 부분을 계산해 볼까요?
$$\frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$$
따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$3^{-1}$$
3단계: 음수 지수 정리하여 최종 답 구하기
지수에 있는 마이너스($-$) 부호는 역수를 의미합니다. 즉, $3^{-1}$은 $3$의 역수입니다.
$$3^{-1} = \frac{1}{3}$$
따라서 구하고자 하는 값은 $\frac{1}{3}$입니다.
답
정답은 **② $\frac{1}{3}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 아래 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> [질문] $\sqrt[3]{4} \times 2^{-\frac{5}{3}}$의 값은 무엇일까요? (힌트: $4 = 2^2$임을 이용해 보세요.)