어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질과 연립방정식을 이용하여 주어진 식을 만족하는 두 양수 $a, b$에 대해 $\frac{a}{b}$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 로그의 밑 변환 공식: 로그의 밑이 다르면 계산하기 어렵기 때문에, 밑을 같게 맞춰주어야 합니다. 특히 $\log_{p^k} x = \frac{1}{k} \log_p x$ 성질을 이용해 밑을 $3$으로 통일할 것입니다.
- 로그의 성질: 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈이 된다는 성질($\log_k a - \log_k b = \log_k \frac{a}{b}$)을 이용해 최종 구하고자 하는 값을 쉽게 구합니다.
- 연립방정식의 대입법: 두 식을 정리하여 한 문자에 대해 나타낸 후 대입하여 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 로그의 밑을 $3$으로 통일하기
주어진 식을 보면 밑이 $9$인 로그와 $3$인 로그가 섞여 있습니다. $9 = 3^2$이므로, 밑 변환 공식을 사용해 모든 로그의 밑을 $3$으로 통일해 봅시다.
밑 변환 공식 $\log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$를 이용하면 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
- $\log_9 a = \log_{3^2} a = \frac{1}{2} \log_3 a$
- $\log_9 b = \log_{3^2} b = \frac{1}{2} \log_3 b$
2단계: 주어진 조건식 단순화하기
이제 1단계에서 바꾼 식들을 원래의 두 식에 대입해 정리해 봅시다.
첫 번째 식:
$$\log_9 a + \log_3 b = 2$$
$$\frac{1}{2} \log_3 a + \log_3 b = 2$$
양변에 $2$를 곱해서 분수를 없애주면 더 깔끔해집니다.
$$\log_3 a + 2 \log_3 b = 4 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
두 번째 식:
$$\log_3 a = 8 \log_9 b$$
$$\log_3 a = 8 \left(\frac{1}{2} \log_3 b\right)$$
우변을 약분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$\log_3 a = 4 \log_3 b \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 연립방정식 풀기
$\text{(식 2)}$에서 구한 $\log_3 a = 4 \log_3 b$를 $\text{(식 1)}$에 대입해 봅시다.
$$4 \log_3 b + 2 \log_3 b = 4$$
$$6 \log_3 b = 4$$
$$\log_3 b = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
이제 구한 $\log_3 b$의 값을 다시 $\text{(식 2)}$에 대입하여 $\log_3 a$의 값을 구합니다.
$$\log_3 a = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$
4단계: $\frac{a}{b}$의 값 구하기
우리가 구해야 하는 값은 $\frac{a}{b}$입니다. 로그의 성질 중에서 로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈이 된다는 성질을 이용해 봅시다.
$$\log_3 \left(\frac{a}{b}\right) = \log_3 a - \log_3 b$$
여기에 우리가 구한 값들을 대입합니다.
$$\log_3 \left(\frac{a}{b}\right) = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
로그의 정의에 의해, $\log_3 \left(\frac{a}{b}\right) = 2$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{a}{b} = 3^2 = 9$$
답
**③ $9$**
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> [질문]
> 두 양수 $a, b$가 다음 식을 만족할 때, $\frac{a}{b}$의 값은 얼마일까요?
> $$\log_9 a + \log_3 b = 3, \quad \log_3 a = 8 \log_9 b$$