어떤 문제인가
이 문제는 함수의 극한 성질을 이용하여 미지수가 포함된 일차함수 $f(x)$를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 아래의 3가지 핵심 개념을 사용합니다.
- 일차함수의 식 세우기: 일차함수는 $f(x) = px + q$ (단, $p \neq 0$) 꼴로 나타낼 수 있습니다.
- 분수 형태의 극한값이 존재할 조건: $x \to a$일 때 (분모) $\to 0$ 이고 극한값이 존재하려면, 반드시 (분자) $\to 0$ 이어야 합니다. ($\frac{0}{0}$ 꼴)
- 극한값이 존재하지 않을 조건: 분수식에서 분자는 0이 아닌 상수로 가는데 분모만 0으로 가면, 그 값은 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하여 극한값이 존재하지 않게 됩니다.
단계별 풀이
1단계: $a=0$일 때 극한값이 존재할 조건 분석하기
먼저 $a=0$일 때 극한값이 존재한다고 했으므로, 식을 써봅시다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$$
이 극한에서 분모를 보면 $x \to 0$일 때, 곱해져 있는 $x$ 때문에 분모가 0으로 수렴하게 됩니다.
분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하려면, 분자도 반드시 0으로 수렴해야 합니다.
따라서 다음이 성립합니다.
$$\lim_{x \to 0} f(x+2) = f(2) = 0$$
$f(x)$는 일차함수이고 $f(2) = 0$이므로, 우리는 $f(x)$를 다음과 같이 인수정리를 이용해 간단히 세울 수 있습니다.
$$f(x) = k(x-2) \quad (\text{단, } k \neq 0)$$
2단계: 극한식에 $f(x)$ 대입하여 정리하기
우리가 구한 $f(x) = k(x-2)$를 원래의 극한식에 대입해 봅시다.
먼저 분자인 $f(x+2)$는 $x$ 자리에 $x+2$를 대입한 것이므로 다음과 같습니다.
$$f(x+2) = k((x+2)-2) = kx$$
이제 이 식들을 극한식에 대입해 정리해 봅시다.
$$\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)} = \frac{kx}{x(k(x-2)-3)}$$
여기서 분모와 분자에 공통으로 있는 $x$를 약분할 수 있습니다. (극한에서는 $x$가 0에 가까워질 뿐 0은 아니므로 약분이 가능합니다.)
$$\frac{k}{k(x-2)-3} \quad (x \neq 0)$$
3단계: $a=3$일 때 극한값이 존재하지 않을 조건 적용하기
이제 $a=3$일 때 극한값이 존재하지 않는다는 조건을 사용해 봅시다. 약분된 식에 $x \to 3$을 적용합니다.
$$\lim_{x \to 3} \frac{k}{k(x-2)-3} = \frac{k}{k(3-2)-3} = \frac{k}{k-3}$$
이 극한값이 존재하지 않아야 합니다.
분자인 $k$는 일차함수의 기울기이므로 $0$이 아닙니다. 따라서 이 분수 값이 존재하지 않으려면(발산하려면) **분모가 $0$이 되어야 합니다.**
$$k - 3 = 0 \implies k = 3$$
4단계: $f(4)$의 값 구하기
구한 $k=3$을 $f(x)$ 식에 대입하면 일차함수 $f(x)$가 완성됩니다.
$$f(x) = 3(x-2)$$
우리가 구하고자 하는 값은 $f(4)$이므로 $x=4$를 대입합니다.
$$f(4) = 3(4-2) = 3 \times 2 = 6$$
답
**① $6$**
확인해보기
분수 형태의 극한 $\lim_{x \to c} \frac{A(x)}{B(x)}$에서, $x \to c$일 때 분모 $B(x) \to 0$으로 가는데도 극한값이 존재하기 위해서는 분자 $A(x)$가 어떤 조건을 만족해야 할까요? 그리고 그 이유는 무엇일까요?