어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 수열의 특정 항들의 곱을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 할 때, $n$번째 항은 $a_n = a r^{n-1}$로 나타낼 수 있습니다.
- 연립방정식 풀이 (나눗셈 이용): 등비수열은 이웃한 항끼리 곱해지는 관계이므로, 식을 더하거나 빼기보다 나누어서 첫째항 $a$를 소거하는 것이 편리합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 첫째항 $a$와 공비 $r$로 나타내기
등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1 = a$, 공비를 $r$ ($r > 0$)이라고 합시다.
그러면 각 항을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
- $a_1 = a$
- $a_2 = ar$
- $a_3 = ar^2$
이제 문제에서 주어진 식을 두 개의 방정식으로 나누어 써볼게요.
$$2a_1(a_1+a_3) = 20 \quad \Rightarrow \quad a_1(a_1+a_3) = 10$$
$$5a_2(a_1+a_2) = 20 \quad \Rightarrow \quad a_2(a_1+a_2) = 4$$
이 식에 $a$와 $r$을 대입해 정리해 봅시다.
- 첫 번째 식:
$$a(a + ar^2) = 10 \quad \Rightarrow \quad a^2(1 + r^2) = 10 \quad \cdots \text{ (식 ①)}$$
- 두 번째 식:
$$ar(a + ar) = 4 \quad \Rightarrow \quad a^2r(1 + r) = 4 \quad \cdots \text{ (식 ②)}$$
2단계: 두 식을 나누어 공비 $r$ 구하기
식 ①과 식 ②에는 모두 $a^2$이 곱해져 있습니다. $a^2$을 없애기 위해 식 ①을 식 ②로 나누어 봅시다. (단, $a \neq 0$입니다.)
$$\frac{a^2(1+r^2)}{a^2r(1+r)} = \frac{10}{4}$$
좌변에서 $a^2$을 약분하고, 우변의 분수 $\frac{10}{4}$을 약분하면 다음과 같은 $r$에 대한 식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{1+r^2}{r(1+r)} = \frac{5}{2}$$
양변에 분모들을 곱해서 식을 정리해 볼까요?
$$2(1+r^2) = 5r(1+r)$$
$$2 + 2r^2 = 5r + 5r^2$$
우변으로 모든 항을 이항하여 정리하면 이차방정식이 됩니다.
$$3r^2 + 5r - 2 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해 해봅시다.
$$(3r - 1)(r + 2) = 0$$
따라서 $r = \frac{1}{3}$ 또는 $r = -2$입니다.
그런데 문제 조건에서 "공비가 양수"라고 했으므로, 우리가 찾는 공비는 다음과 같습니다.
$$r = \frac{1}{3}$$
3단계: 첫째항의 제곱 $a^2$ 구하기
구한 $r = \frac{1}{3}$을 식 ①에 대입하여 $a^2$의 값을 구해봅시다.
$$a^2 \left( 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \right) = 10$$
$$a^2 \left( 1 + \frac{1}{9} \right) = 10$$
$$a^2 \left( \frac{10}{9} \right) = 10$$
양변에 $\frac{9}{10}$를 곱하면,
$$a^2 = 9$$
이 됩니다. (여기서 $a$를 직접 구하지 않고 $a^2$ 상태로 두는 것이 다음 계산에 더 편리합니다!)
4단계: 구하고자 하는 $a_1 \times a_6$ 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_1 \times a_6$입니다. 이를 $a$와 $r$로 나타내 볼까요?
$$a_1 \times a_6 = a \times (ar^5) = a^2 r^5$$
여기에 우리가 구한 $a^2 = 9$와 $r = \frac{1}{3}$을 대입합니다.
$$a^2 r^5 = 9 \times \left(\frac{1}{3}\right)^5$$
$$= 9 \times \frac{1}{243}$$
$$= \frac{9}{243} = \frac{1}{27}$$
답
**① $\frac{1}{27}$**
확인해보기
등차수열 문제를 풀 때는 보통 두 식을 '빼서' 공차를 구합니다. 반면, 이번 등비수열 문제의 2단계에서는 왜 두 식을 '빼지 않고 나누어서' 풀었을까요? 그 이유를 등비수열의 일반항 형태와 관련지어 생각해보세요.