어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분을 이용해 표현하고, 미분과 적분의 관계를 활용하여 주어진 보기의 참·거짓을 판별하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 두 곡선 사이의 넓이: 두 함수 $f(x), g(x)$에 대해 $f(x) > g(x)$이면, $x=a$부터 $x=b$까지 두 곡선으로 둘러싸인 넓이는 $\int_{a}^{b} \{f(x) - g(x)\} dx$로 구합니다.
- 미적분학의 기본 정리: 정적분으로 정의된 함수를 미분하는 방법인 $\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} h(x) dx = h(t)$를 이용합니다.
- 정적분의 계산과 대칭성: 우함수(y축 대칭)와 기함수(원점 대칭)의 성질을 이용하면 정적분 계산을 훨씬 빠르고 정확하게 할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $S(t)$를 식으로 세우고 $S'(t)$와의 관계 이해하기
모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) > g(x)$라고 했으므로, $y=f(x)$가 항상 $y=g(x)$보다 위에 있습니다.
따라서 $x=0$부터 $x=t$($t>0$)까지 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 넓이 $S(t)$는 다음과 같이 정적분으로 나타낼 수 있습니다.
$$S(t) = \int_{0}^{t} \{f(x) - g(x)\} dx$$
이 식의 양변을 $t$에 대해 미분해 봅시다. 미적분학의 기본 정리에 의해 다음이 성립합니다.
$$S'(t) = f(t) - g(t)$$
문제에서 $S'(t) = t^2 - 2t + a$라고 주어졌으므로, 결국 두 함수의 차는 다음과 같은 이차식입니다.
$$f(x) - g(x) = x^2 - 2x + a$$
2단계: 상수 $a$의 값 구하기 (ㄱ 판정)
문제에서 아주 중요한 단서인 $f(1) = g(1) + 1$을 주었습니다. 이 식을 이항하면 다음과 같습니다.
$$f(1) - g(1) = 1$$
위의 1단계에서 구한 $f(x) - g(x) = x^2 - 2x + a$에 $x=1$을 대입해 봅시다.
$$f(1) - g(1) = 1^2 - 2(1) + a$$
$$1 = -1 + a$$
$$a = 2$$
따라서 $a=2$입니다. 보기 ㄱ에서 $a=1$이라고 했으므로 ㄱ은 틀렸습니다.
*(참고: $a=2$일 때 $f(x)-g(x) = x^2-2x+2 = (x-1)^2+1 > 0$이 되므로, 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)>g(x)$라는 조건도 완벽하게 만족합니다.)*
3단계: $S(3)$의 값 구하기 (ㄴ 판정)
$a=2$임을 알았으므로, $S'(t) = t^2 - 2t + 2$입니다.
$S(t)$는 $S'(t)$를 적분하여 구할 수 있습니다. $S(0)=0$이므로 적분상수는 $0$입니다.
$$S(t) = \int_{0}^{t} (x^2 - 2x + 2) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x \right]_0^t = \frac{1}{3}t^3 - t^2 + 2t$$
이제 $t=3$을 대입하여 $S(3)$을 계산해 봅시다.
$$S(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 + 2(3) = 9 - 9 + 6 = 6$$
따라서 $S(3)=6$이 맞으므로, 보기 ㄴ은 맞습니다.
4단계: 두 곡선과 $x=-2, x=2$로 둘러싸인 넓이와 $S(4)$ 비교하기 (ㄷ 판정)
먼저, 두 곡선 $y=f(x), y=g(x)$와 두 직선 $x=-2, x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A$라고 하고 식을 세워봅시다. 항상 $f(x) > g(x)$이므로 절댓값 기호 없이 바로 쓸 수 있습니다.
$$A = \int_{-2}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx = \int_{-2}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx$$
이 정적분을 계산할 때, 적분 구간이 $[-2, 2]$로 대칭이므로 우함수와 기함수의 성질을 쓰면 편리합니다. 홀수 차수 항인 $-2x$는 적분하면 $0$이 되므로 사라집니다.
$$A = 2 \int_{0}^{2} (x^2 + 2) dx$$
$$A = 2 \left[ \frac{1}{3}x^3 + 2x \right]_0^2 = 2 \left( \frac{8}{3} + 4 \right) = 2 \left( \frac{20}{3} \right) = \frac{40}{3}$$
이번에는 $S(4)$의 값을 계산해 봅시다. 3단계에서 구한 $S(t)$ 식에 $t=4$를 대입합니다.
$$S(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - (4)^2 + 2(4) = \frac{64}{3} - 16 + 8 = \frac{64}{3} - 8 = \frac{40}{3}$$
두 값이 $\frac{40}{3}$으로 서로 같습니다! 따라서 보기 ㄷ은 맞습니다.
답
옳은 것은 ㄴ, ㄷ이므로 답은 ⑤입니다.
확인해보기
만약 문제에서 "$f(x) > g(x)$"라는 조건이 주어지지 않고 두 곡선이 중간에 만난다면, 넓이 $S(t)$를 구할 때 단순히 $\int_{0}^{t} \{f(x) - g(x)\} dx$로 계산하면 안 되는 이유는 무엇일까요? 식에 어떤 기호를 추가해야 할지 생각해 보세요.