어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각방정식의 실근의 개수가 $15$개가 되도록 하는 양수 $a$와 자연수 $b$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 방정식의 인수분해와 성질: 두 식의 곱이 $0$이 된다는 것은 각각의 식이 $0$이 되는 경우를 의미합니다.
- 삼각함수 그래프의 주기: $y = \cos(b\pi x)$ 그래프의 주기를 파악하고, 주어진 범위 $0 \le x \le 2$ 안에서 그래프가 몇 번 반복되는지 이해합니다.
- 실근의 개수와 교점의 개수: 삼각함수 그래프와 직선의 교점의 개수를 통해 실근의 개수를 시각적으로 파악합니다.
단계별 풀이
1단계: 방정식을 두 개의 단순한 삼각방정식으로 나누기
주어진 방정식은 두 식의 곱이 $0$이 되는 형태입니다.
$$\left( \cos(b\pi x) - \frac{1}{2} \right) \left( a\cos(b\pi x) + \frac{a+2}{2} \right) = 0$$
따라서 이 방정식이 성립하려면 다음 두 경우 중 하나를 만족해야 합니다.
- $\cos(b\pi x) - \frac{1}{2} = 0 \implies \cos(b\pi x) = \frac{1}{2}$
- $a\cos(b\pi x) + \frac{a+2}{2} = 0 \implies \cos(b\pi x) = -\frac{a+2}{2a}$
이제 이 두 방정식의 실근의 개수의 합이 $15$가 되어야 합니다.
2단계: 함수 $y = \cos(b\pi x)$의 주기와 그래프 분석하기
$x$의 범위가 $0 \le x \le 2$일 때, 함수 $y = \cos(b\pi x)$의 주기를 구해봅시다.
코사인 함수의 기본 주기는 $2\pi$이므로, $y = \cos(b\pi x)$의 주기 $T$는 다음과 같습니다.
$$T = \frac{2\pi}{b\pi} = \frac{2}{b}$$
우리가 관찰할 $x$의 범위는 $[0, 2]$입니다. 이 범위의 길이는 $2$이므로, 이 구간 안에는 주기가 정확히 $b$번 반복됩니다.
$$\frac{\text{구간의 길이}}{\text{주기}} = \frac{2}{\frac{2}{b}} = b\text{ (번)}$$
3단계: 첫 번째 방정식 $\cos(b\pi x) = \frac{1}{2}$의 실근의 개수 구하기
코사인 그래프가 한 주기(한 파동) 동안 $y = \frac{1}{2}$이라는 가로선과 만나는 점은 정확히 $2$개 존재합니다.
$y = \frac{1}{2}$은 최댓값 $1$과 최솟값 $-1$ 사이에 있기 때문에, 경계선에 걸치지 않고 항상 한 주기당 $2$개의 교점을 가집니다.
구간 $[0, 2]$ 안에서 그래프가 $b$번 반복되므로, 이 방정식의 실근의 개수는 다음과 같습니다.
$$\text{실근의 개수} = 2 \times b = 2b\text{ (개)}$$
4단계: 두 번째 방정식 $\cos(b\pi x) = -\frac{a+2}{2a}$의 실근의 개수 분석하기
우변의 값 $k = -\frac{a+2}{2a}$가 어떤 값을 갖는지 분석해 봅시다. $a > 0$이므로 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$$k = -\left( \frac{a}{2a} + \frac{2}{2a} \right) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{a}$$
$a > 0$이므로 $\frac{1}{a} > 0$입니다. 따라서 $k$는 항상 $-\frac{1}{2}$보다 작습니다.
$$k < -\frac{1}{2}$$
코사인 함수의 치역은 $[-1, 1]$이므로, $k$의 값에 따라 실근의 개수가 달라집니다. 세 가지 경우로 나누어 생각해 봅시다.
경우 1) $k < -1$ 인 경우 (즉, $a < 2$ 일 때)
이 경우 $\cos(b\pi x) = k$를 만족하는 실근은 존재하지 않습니다 ($0$개).
- 총 실근의 개수: $2b + 0 = 2b$
- 문제에서 실근의 개수가 $15$라고 했으므로, $2b = 15 \implies b = 7.5$가 됩니다.
- 하지만 $b$는 자연수여야 하므로 이 경우는 모순입니다.
경우 2) $k = -1$ 인 경우 (즉, $a = 2$ 일 때)
이 경우 방정식은 $\cos(b\pi x) = -1$이 됩니다.
코사인 그래프가 한 주기 동안 최솟값 $-1$을 갖는 지점은 딱 $1$군데뿐입니다.
따라서 $b$번 반복되는 구간 동안 최솟값을 갖는 지점은 총 $b$개 존재합니다.
- 총 실근의 개수: $2b + b = 3b$
- $3b = 15 \implies b = 5$
- $b=5$는 자연수이므로 조건을 만족합니다! 이때 $a = 2$입니다.
경우 3) $-1 < k < -\frac{1}{2}$ 인 경우 (즉, $a > 2$ 일 때)
이 경우 $y = k$라는 선은 최댓값과 최솟값 사이에 존재하므로, 한 주기당 $2$개의 교점을 가집니다.
- 총 실근의 개수: $2b + 2b = 4b$
- $4b = 15 \implies b = 3.75$가 되어 $b$가 자연수라는 조건에 모순됩니다.
5단계: $a+b$의 값 구하기
조건을 만족하는 유일한 경우는 경우 2입니다.
따라서 $a = 2$, $b = 5$입니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $a+b$이므로,
$$a+b = 2 + 5 = 7$$
답
③ $7$
확인해보기
위 풀이를 잘 이해했는지 확인하기 위해 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 실근의 개수가 $15$가 아니라 $16$이라고 주어졌다면, $a$와 $b$의 조건은 어떻게 달라져야 할까요? (단, $a$는 $2$보다 큰 실수이고 $b$는 자연수입니다.)