어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 조건을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 구하고, $f(6)$의 값을 찾는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정적분과 절댓값의 관계 (부호 변화):
어떤 구간 $[a, b]$에서 $\int_{a}^{b} |g(x)| dx \neq \left| \int_{a}^{b} g(x) dx \right|$가 성립한다는 것은, **함수 $g(x)$가 구간 $(a, b)$ 안에서 양수 값과 음수 값을 모두 가진다(즉, x축을 통과하며 부호가 바뀐다)**는 뜻입니다. 만약 함수가 항상 양수이거나 항상 음수라면 두 식은 같아집니다.
- 삼차함수의 그래프와 근:
삼차함수가 x축과 만나는 점(근)에서 그래프가 x축을 뚫고 지나가는지(부호 변화 있음), 아니면 접하고 튕겨 나가는지(부호 변화 없음)를 파악해야 합니다.
- 함수의 극대·극소와 평행이동:
함수를 y축 방향으로 $q$만큼 평행이동했을 때, 특정 구간에서 부호 변화가 일어날 조건을 극값과 연결 지어 생각합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가) 해석하기 — $f(x)$의 부호가 바뀌는 곳 찾기
조건 (가)에서 다음 식이 성립하는 $p$의 범위가 $0 < p < 3$이라고 했습니다.
$$\int_{p}^{p+3} |f(x)| dx \neq \left| \int_{p}^{p+3} f(x) dx \right|$$
이 식은 **"구간 $(p, p+3)$ 안에서 $f(x)$의 부호 변화가 일어난다"**는 뜻입니다. 구간의 길이는 항상 $3$입니다.
- 문제에서 $f(x)$는 상수항이 $0$인 삼차함수라고 했으므로, $f(0) = 0$입니다. 즉, $x=0$은 $f(x) = 0$의 한 근입니다.
- 만약 $f(x)$가 $x=0$에서 x축을 뚫고 지나가며 부호가 바뀐다면, $0$을 포함하는 구간인 $p < 0 < p+3$ (즉, $-3 < p < 0$)에서도 부호 변화가 일어나야 하므로 $p$의 범위에 음수가 포함되어야 합니다. 하지만 $p$의 범위는 오직 $0 < p < 3$뿐입니다.
- 따라서, **$x=0$에서는 부호 변화가 일어나지 않아야 합니다.** 즉, $x=0$은 $f(x)$의 중근(접하는 근)입니다.
- 반면, $p$가 $0$보다 조금이라도 커지면 부호 변화가 일어나기 시작해서 $p$가 $3$이 되기 직전까지 일어납니다. 이는 구간 $(p, p+3)$이 $x=3$이라는 값을 포함할 때만 부호 변화가 일어난다는 뜻입니다. ($p < 3 < p+3 \iff 0 < p < 3$)
- 따라서 **$f(x)$는 $x=3$에서 x축을 뚫고 지나가며 부호가 바뀝니다.**
이 정보를 종합하면, 삼차함수 $f(x)$는 최고차항의 계수를 $a$ ($a \neq 0$)라 할 때 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$f(x) = a x^2 (x - 3)$$
2단계: 조건 (나) 해석하기 — $f(x) + q$의 부호 변화와 $a$ 구하기
조건 (나)에서는 구간 $[0, 3]$에서 $f(x) + q$의 부호가 바뀌도록 하는 $q$의 범위가 $0 < q < 1$이라고 했습니다.
먼저 $f(x)$의 그래프 개형을 알아보기 위해 미분을 해봅시다.
$$f'(x) = a(2x(x-3) + x^2) = a(3x^2 - 6x) = 3ax(x-2)$$
$f'(x) = 0$이 되는 점은 $x=0$과 $x=2$입니다.
**case 1) $a > 0$인 경우**
- $f(x)$는 $x=0$에서 극대값 $f(0)=0$을 갖고, $x=2$에서 극소값 $f(2) = a(4)(-1) = -4a$를 가집니다.
- 구간 $[0, 3]$에서 $f(x)$의 최댓값은 $f(0) = f(3) = 0$이고, 최솟값은 $f(2) = -4a$입니다.
- 즉, 이 구간에서 $f(x)$의 치역은 $[-4a, 0]$입니다.
- 이제 이 그래프를 y축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 $f(x) + q$의 치역은 $[-4a + q, q]$가 됩니다.
- 구간 $(0, 3)$ 안에서 $f(x) + q$의 부호 변화가 일어나려면(양수와 음수를 모두 가지려면), 최솟값은 음수이고 최댓값은 양수여야 합니다.
$$-4a + q < 0 < q \implies 0 < q < 4a$$
- 문제에서 제시한 $q$의 범위가 $0 < q < 1$이므로, 두 범위가 일치해야 합니다.
$$4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$$
- $a = \frac{1}{4} > 0$이므로 조건에 부합합니다!
*(참고) $a < 0$인 경우에는 구간 $[0, 3]$에서 $f(x)$의 치역이 $[0, -4a]$가 되어, 부호가 바뀌기 위한 $q$의 범위가 음수 영역($4a < q < 0$)으로 나오므로 조건 $0 < q < 1$에 모순이 됩니다.*
3단계: $f(6)$의 값 계산하기
우리가 구한 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = \frac{1}{4} x^2 (x - 3)$$
이제 $x=6$을 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f(6) = \frac{1}{4} \times 6^2 \times (6 - 3)$$
$$f(6) = \frac{1}{4} \times 36 \times 3 = 9 \times 3 = 27$$
답
정답은 ④ 27 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문:
만약 조건 (가)에서 실수 $p$의 범위가 $0 < p < 3$이 아니라, **$-3 < p < 0$**으로 주어졌다면, 삼차함수 $f(x)$는 $x=0$과 $x=3$ 중 어느 곳에서 x축에 접하고(중근), 어느 곳에서 x축을 뚫고 지나가야 할까요? (이유도 함께 생각해 보세요!)