어떤 문제인가
이 문제는 지수에 미지수 $x$가 포함되어 있는 지수방정식 문제입니다. 양변의 모양이 서로 달라 보이지만, 지수법칙을 이용하면 아주 쉽게 해결할 수 있어요.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 기억해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 밑 통일하기: 양변의 밑(base)을 같게 만들어 비교하기 쉽게 만듭니다. 여기서는 $3$과 $\frac{1}{9}$을 모두 $3$을 밑으로 하는 거듭제곱으로 나타낼 것입니다.
- 지수법칙: 분수 형태의 지수 표현인 $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$과 거듭제곱의 거듭제곱 법칙인 $(a^m)^n = a^{mn}$을 활용합니다.
- 지수 비교하기: 밑이 같을 때, 즉 $a^f(x) = a^g(x)$일 때 지수끼리 같다($f(x) = g(x)$)는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 우변의 밑을 $3$으로 통일하기
좌변의 밑은 $3$이고, 우변의 밑은 $\frac{1}{9}$입니다. 우변의 밑을 좌변과 같은 $3$으로 바꾸어 줄게요.
$9$는 $3^2$이므로, 역수의 성질에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$$
이 식을 문제의 우변에 대입해 봅시다.
$$\left(\frac{1}{9}\right)^x = \left(3^{-2}\right)^x$$
2단계: 지수법칙을 적용하여 우변 정리하기
거듭제곱의 거듭제곱 법칙인 $(a^m)^n = a^{mn}$을 사용하여 우변을 더 간단히 만듭니다.
$$\left(3^{-2}\right)^x = 3^{-2x}$$
이제 원래 방정식은 다음과 같이 밑이 $3$으로 통일된 식으로 바뀝니다.
$$3^{x-6} = 3^{-2x}$$
3단계: 지수끼리 비교하여 $x$ 구하기
양변의 밑이 $3$으로 같으므로, 등식이 성립하려면 지수 부분이 서로 같아야 합니다.
$$x - 6 = -2x$$
이 일차방정식을 풀어봅시다. 우변의 $-2x$를 좌변으로 이항하고, 좌변의 $-6$을 우변으로 이항합니다.
$$x + 2x = 6$$
$$3x = 6$$
양변을 $3$으로 나누면 우리가 구하고자 하는 $x$의 값이 나옵니다.
$$x = 2$$
답
$$x = 2$$
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 방정식을 직접 풀어보고 스스로 실력을 점검해 보세요! (밑을 $2$로 통일하면 쉽게 풀 수 있어요.)
> 문제: 방정식 $2^{x-3} = \left(\frac{1}{4}\right)^x$을 만족시키는 실수 $x$의 값은 무엇일까요?