어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$가 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 구하고 특정 함숫값을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 미분의 역연산으로, 도함수 $f'(x)$로부터 원래 함수 $f(x)$를 찾아내는 과정입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 상수를 미분하면 $0$이 되기 때문에, 적분을 할 때는 항상 정해지지 않은 상수 $C$가 붙습니다.
- 함숫값의 대입: 주어진 조건 $f(0)=3$을 이용해 적분상수 $C$를 구하고, 최종적으로 $f(1)$을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$를 부정적분하여 원래 함수 $f(x)$의 형태 구하기
미분해서 $6x^2 + 5$가 되는 함수 $f(x)$를 찾기 위해 부정적분을 합니다.
다항함수의 적분 공식 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$를 이용해 봅시다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (6x^2 + 5) \, dx$$
각 항을 적분하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = 6 \times \left(\frac{1}{3}x^3\right) + 5x + C$$
$$f(x) = 2x^3 + 5x + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
2단계: 조건 $f(0) = 3$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
우리가 구한 $f(x)$에는 아직 알지 못하는 상수 $C$가 포함되어 있습니다. 문제에서 준 단서인 $f(0) = 3$을 대입하여 $C$의 값을 알아내 봅시다.
$$f(0) = 2(0)^3 + 5(0) + C = 3$$
계산하면 $C = 3$임을 알 수 있습니다.
따라서 우리가 찾던 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같이 완벽하게 완성됩니다.
$$f(x) = 2x^3 + 5x + 3$$
3단계: $f(1)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 1$을 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f(1) = 2(1)^3 + 5(1) + 3$$
$$f(1) = 2 + 5 + 3 = 10$$
답
$$10$$
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 아래 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> [스스로 풀어보기]
> 다항함수 $g(x)$에 대하여 $g'(x) = 3x^2 - 2x$ 이고 $g(1) = 5$ 일 때, $g(2)$의 값은 무엇일까요?