어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질을 이용하여 특정 항의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a_1$이고 공차가 $d$인 등차수열의 $n$번째 항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$로 나타낼 수 있습니다.
- 미지수 통일하기: 수열의 여러 항($a_2, a_5, a_6$)을 첫째항 $a_1$과 공차 $d$라는 두 개의 기본 도구로 표현하여 연립방정식을 세우는 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건들을 첫째항 $a_1$과 공차 $d$로 표현하기
등차수열의 모든 항은 첫째항 $a_1$과 공차 $d$만 있으면 모두 표현할 수 있습니다. 문제에서 주어진 항들을 공식 $a_n = a_1 + (n-1)d$를 사용해 바꾸어 써봅시다.
- $a_2 = a_1 + d$
- $a_5 = a_1 + 4d$
- $a_6 = a_1 + 5d$
이렇게 바꾸는 이유는 복잡해 보이는 식을 우리가 잘 아는 $a_1$과 $d$에 대한 연립방정식으로 만들기 위해서입니다.
2단계: 두 번째 조건($a_5 = a_2 - 6$)을 이용해 공차 $d$ 구하기
이제 1단계에서 정리한 식들을 두 번째 조건식에 대입해 봅시다.
$$a_5 = a_2 - 6$$
여기에 $a_5 = a_1 + 4d$와 $a_2 = a_1 + d$를 대입하면 다음과 같습니다.
$$a_1 + 4d = (a_1 + d) - 6$$
양변에 똑같이 있는 $a_1$을 없애기 위해 양변에서 $a_1$을 빼줍니다.
$$4d = d - 6$$
우변의 $d$를 좌변으로 이항하여 정리합니다.
$$3d = -6$$
$$d = -2$$
이로써 이 등차수열의 공차 $d$가 $-2$라는 것을 알아냈습니다!
3단계: 첫 번째 조건($a_6 = 5$)과 구한 공차를 이용해 첫째항 $a_1$ 구하기
이제 첫 번째 조건인 $a_6 = 5$를 이용할 차례입니다. $a_6$을 $a_1$과 $d$로 나타낸 식에 우리가 방금 구한 $d = -2$를 대입해 봅시다.
$$a_6 = a_1 + 5d = 5$$
$d$ 자리에 $-2$를 대입하면,
$$a_1 + 5 \times (-2) = 5$$
$$a_1 - 10 = 5$$
$-10$을 우변으로 이항하면 우리가 구하고자 하는 첫째항 $a_1$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$a_1 = 15$$
답
$$15$$
확인해보기
배운 내용을 바탕으로 다음 문제를 스스로 풀어보며 이해했는지 확인해 보세요.
> [스스로 풀기 질문]
> 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_3 = 10$ 이고, $a_7 = a_4 + 9$ 일 때, 첫째항 $a_1$의 값은 무엇일까요?