어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선 위의 한 점에서 접하는 직선(접선)을 구하고, 그 직선이 $y$축과 만나는 점의 좌표인 $y$절편을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수와 접선의 기울기: 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서 접선의 기울기는 미분계수 $f'(a)$와 같습니다.
- 접선의 방정식: 기울기가 $m$이고 점 $(x_1, y_1)$을 지나는 직선의 방정식은 $y - y_1 = m(x - x_1)$입니다.
- **$y$절편**: 직선이 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표로, 직선의 방정식에 $x = 0$을 대입하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 곡선의 함수를 미분하여 도함수 구하기
접선의 기울기를 알기 위해서는 먼저 함수를 미분해야 합니다. 주어진 곡선의 식을 $f(x)$라고 놓겠습니다.
$$f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 6$$
이 함수의 도함수 $f'(x)$를 구하기 위해 미분 공식을 적용합니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 10x + 3$$
이 도함수 $f'(x)$는 곡선 위의 임의의 점 $x$에서의 접선의 기울기를 나타내는 식입니다.
2단계: 접점 $(1, 5)$에서의 접선의 기울기 구하기
우리가 구하고자 하는 접선은 $x = 1$인 점에서의 접선입니다. 따라서 도함수 $f'(x)$에 $x = 1$을 대입하여 이때의 기울기를 구합니다.
$$f'(1) = 3(1)^2 - 10(1) + 3$$
$$f'(1) = 3 - 10 + 3 = -4$$
따라서 구하고자 하는 접선의 기울기는 $-4$입니다.
3단계: 접선의 방정식 세우기
이제 기울기가 $-4$이고, 접점 $(1, 5)$를 지나는 직선의 방정식을 세워봅시다. 한 점과 기울기가 주어졌을 때의 직선의 방정식 공식을 사용합니다.
$$y - 5 = -4(x - 1)$$
이 식을 $y$에 대해 정리해 볼까요? 우변의 괄호를 풀고 $-5$를 이항합니다.
$$y - 5 = -4x + 4$$
$$y = -4x + 9$$
이 식이 바로 우리가 찾던 접선의 방정식입니다.
4단계: 접선의 $y$절편 구하기
마지막으로 이 접선의 $y$절편을 구합니다. $y$절편은 $x = 0$일 때의 $y$값이므로, 위에서 구한 식에 $x = 0$을 대입하거나 일차함수 $y = ax + b$ 꼴에서 상수항 $b$를 바로 읽어내면 됩니다.
$$y = -4(0) + 9 = 9$$
따라서 $y$절편은 $9$가 됩니다.
답
$$9$$
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 곡선 $y = x^2 - 3x + 4$ 위의 점 $(2, 2)$에서의 접선의 방정식을 구하고, 이 접선의 $y$절편은 얼마인지 직접 계산해 보세요.